Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem1 24891
 Description: Lemma 1 for gausslemma2d 24899. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem1 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . . 5 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
31, 2gausslemma2dlem0b 24882 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11228 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
5 fprodfac 14542 . . 3 (𝐻 ∈ ℕ0 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙)
7 id 22 . . 3 (𝑙 = (𝑅𝑘) → 𝑙 = (𝑅𝑘))
8 fzfid 12634 . . 3 (𝜑 → (1...𝐻) ∈ Fin)
9 fzfi 12633 . . . 4 (1...𝐻) ∈ Fin
10 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑥 · 2) ∈ V
11 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ V
1210, 11ifex 4106 . . . . 5 if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ∈ V
13 gausslemma2d.r . . . . 5 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
1412, 13fnmpti 5935 . . . 4 𝑅 Fn (1...𝐻)
151, 2, 13gausslemma2dlem1a 24890 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
16 rneqdmfinf1o 8127 . . . 4 (((1...𝐻) ∈ Fin ∧ 𝑅 Fn (1...𝐻) ∧ ran 𝑅 = (1...𝐻)) → 𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
179, 14, 15, 16mp3an12i 1420 . . 3 (𝜑𝑅:(1...𝐻)–1-1-onto→(1...𝐻))
18 eqidd 2611 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑅𝑘))
19 elfzelz 12213 . . . . 5 (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℤ)
2019zcnd 11359 . . . 4 (𝑙 ∈ (1...𝐻) → 𝑙 ∈ ℂ)
2120adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑙 ∈ (1...𝐻)) → 𝑙 ∈ ℂ)
227, 8, 17, 18, 21fprodf1o 14515 . 2 (𝜑 → ∏𝑙 ∈ (1...𝐻)𝑙 = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
236, 22eqtrd 2644 1 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   Fn wfn 5799  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  !cfa 12922  ∏cprod 14474  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822  df-prm 15224 This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  24894
 Copyright terms: Public domain W3C validator