Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthdaylem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthdaylem1 24478
 Description: Lemma for birthday 24481. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
birthday.t 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem1 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓)   𝑇(𝑓)

Proof of Theorem birthdaylem1
StepHypRef Expression
1 f1f 6014 . . . 4 (𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁) → 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁))
21ss2abi 3637 . . 3 {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)} ⊆ {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
3 birthday.t . . 3 𝑇 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)–1-1→(1...𝑁)}
4 birthday.s . . 3 𝑆 = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
52, 3, 43sstr4i 3607 . 2 𝑇𝑆
6 fzfi 12633 . . . . 5 (1...𝑁) ∈ Fin
7 fzfi 12633 . . . . 5 (1...𝐾) ∈ Fin
8 mapvalg 7754 . . . . 5 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)})
96, 7, 8mp2an 704 . . . 4 ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = {𝑓𝑓:(1...𝐾)⟶(1...𝑁)}
104, 9eqtr4i 2635 . . 3 𝑆 = ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾))
11 mapfi 8145 . . . 4 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (1...𝐾) ∈ Fin) → ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) ∈ Fin)
126, 7, 11mp2an 704 . . 3 ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) ∈ Fin
1310, 12eqeltri 2684 . 2 𝑆 ∈ Fin
14 elfz1end 12242 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
15 ne0i 3880 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) ≠ ∅)
1614, 15sylbi 206 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
1710eqeq1i 2615 . . . . 5 (𝑆 = ∅ ↔ ((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅)
18 ovex 6577 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
19 ovex 6577 . . . . . . 7 (1...𝐾) ∈ V
2018, 19map0 7784 . . . . . 6 (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ ↔ ((1...𝑁) = ∅ ∧ (1...𝐾) ≠ ∅))
2120simplbi 475 . . . . 5 (((1...𝑁) ↑𝑚 (1...𝐾)) = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
2217, 21sylbi 206 . . . 4 (𝑆 = ∅ → (1...𝑁) = ∅)
2322necon3i 2814 . . 3 ((1...𝑁) ≠ ∅ → 𝑆 ≠ ∅)
2416, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅)
255, 13, 243pm3.2i 1232 1 (𝑇𝑆𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  1c1 9816  ℕcn 10897  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  birthdaylem3  24480  birthday  24481
 Copyright terms: Public domain W3C validator