Theorem cycls 26151

Description: The set of cycles (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cycls	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑉 Cycles 𝐸) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉 Paths 𝐸)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑝   𝑓,𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑓,𝑝)   𝑌(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cycls

Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3185	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑋 → 𝑉 ∈ V)
2		elex 3185	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → 𝐸 ∈ V)
3		df-cycl 26041	. . 3 ⊢ Cycles = (𝑣 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑣 Paths 𝑒)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})
4		biidd 251	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑒 = 𝐸) → ((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)) ↔ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓))))
5		id 22	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
6		pthistrl 26102	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑉 Paths 𝐸)𝑝 → 𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝)
7		trliswlk 26069	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝 → 𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑝)
8		2mwlk 26049	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝑉 Paths 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
10	9	gen2 1714	. . . 4 ⊢ ∀𝑓∀𝑝(𝑓(𝑉 Paths 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ∀𝑓∀𝑝(𝑓(𝑉 Paths 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)))
12		dmexg 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ V → dom 𝐸 ∈ V)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → dom 𝐸 ∈ V)
14		wrdexg 13170	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐸 ∈ V → Word dom 𝐸 ∈ V)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → Word dom 𝐸 ∈ V)
16		fzfi 12633	. . . . 5 ⊢ (0...(#‘𝑓)) ∈ Fin
17		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) → 𝑉 ∈ V)
18		mapex 7750	. . . . 5 ⊢ (((0...(#‘𝑓)) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉} ∈ V)
19	16, 17, 18	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) → {𝑝 ∣ 𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉} ∈ V)
20	15, 19	opabex3d 7037	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)} ∈ V)
21	3, 4, 5, 11, 20	sprmpt2d 7237	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑉 Cycles 𝐸) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉 Paths 𝐸)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})
22	1, 2, 21	syl2an 493	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑉 Cycles 𝐸) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉 Paths 𝐸)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  {copab 4642  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028   Cycles ccycl 26035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-cycl 26041

This theorem is referenced by:  iscycl  26153