Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkres 26050
 Description: Restrictions of walks (i.e. special kinds of walks, for example paths - see pths 26096) are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkres.1 (𝑓(𝑉𝑊𝐸)𝑝𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑝)
Assertion
Ref Expression
wlkres ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉𝑊𝐸)𝑝𝜑)} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑝   𝑓,𝑉,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem wlkres
StepHypRef Expression
1 wlkres.1 . . . 4 (𝑓(𝑉𝑊𝐸)𝑝𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑝)
2 2mwlk 26049 . . . 4 (𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑓(𝑉𝑊𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
43gen2 1714 . 2 𝑓𝑝(𝑓(𝑉𝑊𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
5 dmexg 6989 . . . . 5 (𝐸 ∈ V → dom 𝐸 ∈ V)
65adantl 481 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → dom 𝐸 ∈ V)
7 wrdexg 13170 . . . 4 (dom 𝐸 ∈ V → Word dom 𝐸 ∈ V)
86, 7syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → Word dom 𝐸 ∈ V)
9 fzfi 12633 . . . 4 (0...(#‘𝑓)) ∈ Fin
10 simpll 786 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) → 𝑉 ∈ V)
11 mapex 7750 . . . 4 (((0...(#‘𝑓)) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑝𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉} ∈ V)
129, 10, 11sylancr 694 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) → {𝑝𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉} ∈ V)
138, 12opabex3d 7037 . 2 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)} ∈ V)
14 opabbrex 6593 . 2 ((∀𝑓𝑝(𝑓(𝑉𝑊𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)) ∧ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)} ∈ V) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉𝑊𝐸)𝑝𝜑)} ∈ V)
154, 13, 14sylancr 694 1 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉𝑊𝐸)𝑝𝜑)} ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   ∈ wcel 1977  {cab 2596  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  {copab 4642  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   Walks cwalk 26026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036 This theorem is referenced by:  wlkon  26061  trlon  26070  pths  26096  spths  26097  pthon  26105  spthon  26112  clwlk  26281
 Copyright terms: Public domain W3C validator