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Theorem ppiub 24729
 Description: An upper bound on the prime-counting function π, which counts the number of primes less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiub ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))

Proof of Theorem ppiub
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3re 10971 . . 3 3 ∈ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
3 simpl 472 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4 ppicl 24657 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℕ0)
54nn0red 11229 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℝ)
7 2re 10967 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 resubcl 10224 . . . . . 6 (((π𝑁) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π𝑁) − 2) ∈ ℝ)
96, 7, 8sylancl 693 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ∈ ℝ)
10 fzfi 12633 . . . . . . . . 9 (4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin
11 ssrab2 3650 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
12 ssfi 8065 . . . . . . . . 9 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin)
1310, 11, 12mp2an 704 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin
14 hashcl 13009 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ0)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ0
1615nn0rei 11180 . . . . . 6 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ)
18 3nn 11063 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
19 nndivre 10933 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
2018, 19mpan2 703 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
22 ppifl 24686 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
24 ppi3 24697 . . . . . . . . 9 (π‘3) = 2
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘3) = 2)
2623, 25oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = ((π𝑁) − 2))
27 3z 11287 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
29 flcl 12458 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
31 flge 12468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3227, 31mpan2 703 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3332biimpa 500 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ≤ (⌊‘𝑁))
34 eluz2 11569 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3528, 30, 33, 34syl3anbrc 1239 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
36 ppidif 24689 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (#‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (#‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
38 df-4 10958 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
3938oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 (4...(⌊‘𝑁)) = ((3 + 1)...(⌊‘𝑁))
4039ineq1i 3772 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = (((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)
4140fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) = (#‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
4237, 41syl6eqr 2662 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
4326, 42eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) = (#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
44 dfin5 3548 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ}
45 elfzle1 12215 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 4 ≤ 𝑘)
46 ppiublem2 24728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5})
4746expcom 450 . . . . . . . . . . 11 (4 ≤ 𝑘 → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
4948ss2rabi 3647 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ} ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
5044, 49eqsstri 3598 . . . . . . . 8 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
51 ssdomg 7887 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
5213, 50, 51mp2 9 . . . . . . 7 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
53 inss1 3795 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
54 ssfi 8065 . . . . . . . . 9 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5510, 53, 54mp2an 704 . . . . . . . 8 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin
56 hashdom 13029 . . . . . . . 8 ((((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin) → ((#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
5755, 13, 56mp2an 704 . . . . . . 7 ((#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
5852, 57mpbir 220 . . . . . 6 (#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
5943, 58syl6eqbr 4622 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ≤ (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
60 reflcl 12459 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
62 peano2rem 10227 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑁) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
64 6nn 11066 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 nndivre 10933 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
6663, 64, 65sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
67 reflcl 12459 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
69 5re 10976 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
70 resubcl 10224 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
7161, 69, 70sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
72 nndivre 10933 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
7371, 64, 72sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
74 reflcl 12459 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
76 peano2re 10088 . . . . . . . 8 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
78 peano2rem 10227 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
80 nndivre 10933 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
8179, 64, 80sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
82 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
83 resubcl 10224 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
8482, 69, 83sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
85 nndivre 10933 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
8684, 64, 85sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
87 peano2re 10088 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
89 flle 12462 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
9066, 89syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
91 1re 9918 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
93 flle 12462 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
9493adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
9561, 82, 92, 94lesub1dd 10522 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
96 6re 10978 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℝ)
98 6pos 10996 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 < 6)
100 lediv1 10767 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
10163, 79, 97, 99, 100syl112anc 1322 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
10295, 101mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
10368, 66, 81, 90, 102letrd 10073 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
104 flle 12462 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
10573, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
10669a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
10761, 82, 106, 94lesub1dd 10522 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5))
108 lediv1 10767 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
10971, 84, 97, 99, 108syl112anc 1322 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
110107, 109mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
11175, 73, 86, 105, 110letrd 10073 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
11275, 86, 92, 111leadd1dd 10520 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ≤ (((𝑁 − 5) / 6) + 1))
11368, 77, 81, 88, 103, 112le2addd 10525 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)) ≤ (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
114 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 mod 6) ∈ V
115114elpr 4146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 mod 6) ∈ {1, 5} ↔ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) ∈ {1, 5} ↔ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)))
117116rabbiia 3161 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
118 unrab 3857 . . . . . . . . . 10 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
119117, 118eqtr4i 2635 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})
120119fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = (#‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
121 ssrab2 3650 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
122 ssfi 8065 . . . . . . . . . 10 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin)
12310, 121, 122mp2an 704 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin
124 ssrab2 3650 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
125 ssfi 8065 . . . . . . . . . 10 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin)
12610, 124, 125mp2an 704 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin
127 inrab 3858 . . . . . . . . . 10 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)}
128 rabeq0 3911 . . . . . . . . . . 11 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
129 1lt5 11080 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
13091, 129ltneii 10029 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 5
131 eqtr2 2630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5) → 1 = 5)
132131necon3ai 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 5 → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
133130, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
135128, 134mprgbir 2911 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅
136127, 135eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅
137 hashun 13032 . . . . . . . . 9 (({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin ∧ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅) → (#‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})))
138123, 126, 136, 137mp3an 1416 . . . . . . . 8 (#‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
139120, 138eqtri 2632 . . . . . . 7 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
140 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
141 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (6 ∈ ℕ → 6 ∈ ℝ+)
14264, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℝ+
143 0le1 10430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 1
144 1lt6 11085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 6
145 modid 12557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 6)) → (1 mod 6) = 1)
14691, 142, 143, 144, 145mp4an 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 mod 6) = 1
147146eqeq2i 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 1)
148 1z 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
149 moddvds 14829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
15064, 148, 149mp3an13 1407 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
151147, 150syl5bbr 273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
152140, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
153152rabbiia 3161 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}
154153fveq2i 6106 . . . . . . . . . 10 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)})
15564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℕ)
156 4z 11288 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℤ
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
15838oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 − 1) = ((3 + 1) − 1)
159 3cn 10972 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
160 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
161159, 160pncan3oi 10176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 + 1) − 1) = 3
162158, 161eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (4 − 1) = 3
163162fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(4 − 1)) = (ℤ‘3)
16435, 163syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(4 − 1)))
165148a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
166155, 157, 164, 165hashdvds 15318 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
167154, 166syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
168 df-3 10957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
169162, 168eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 − 1) = (2 + 1)
170169oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 − 1) − 1) = ((2 + 1) − 1)
171 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
172171, 160pncan3oi 10176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 + 1) − 1) = 2
173170, 172eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 1) − 1) = 2
174173oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 − 1) − 1) / 6) = (2 / 6)
175174fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = (⌊‘(2 / 6))
176 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
17764nnne0i 10932 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ≠ 0
1787, 96, 177redivcli 10671 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) ∈ ℝ
179 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
1807, 96, 179, 98divgt0ii 10820 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (2 / 6)
181176, 178, 180ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (2 / 6)
182 2lt6 11084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 6
183 6cn 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℂ
184183mulid1i 9921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 · 1) = 6
185182, 184breqtrri 4610 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < (6 · 1)
18696, 98pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
187 ltdivmul 10777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1)))
1887, 91, 186, 187mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1))
189185, 188mpbir 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) < 1
190 1e0p1 11428 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0 + 1)
191189, 190breqtri 4608 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 6) < (0 + 1)
192 0z 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
193 flbi 12479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 / 6) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1))))
194178, 192, 193mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1)))
195181, 191, 194mpbir2an 957 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(2 / 6)) = 0
196175, 195eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = 0
197196oveq2i 6560 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0)
19866flcld 12461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℤ)
199198zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℂ)
200199subid1d 10260 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
201197, 200syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
202167, 201eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
203 5pos 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 5
204176, 69, 203ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 5
205 5lt6 11081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 < 6
206 modid 12557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 6)) → (5 mod 6) = 5)
20769, 142, 204, 205, 206mp4an 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 mod 6) = 5
208207eqeq2i 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 5)
209 5nn 11065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ
210209nnzi 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℤ
211 moddvds 14829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
21264, 210, 211mp3an13 1407 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
213208, 212syl5bbr 273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
214140, 213syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
215214rabbiia 3161 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}
216215fveq2i 6106 . . . . . . . . . 10 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)})
217210a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℤ)
218155, 157, 164, 217hashdvds 15318 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
219216, 218syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
220162oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 − 1) − 5) = (3 − 5)
221 5cn 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
222221, 159negsubdi2i 10246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(5 − 3) = (3 − 5)
223 3p2e5 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 + 2) = 5
224223oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 + 2) − 3) = (5 − 3)
225 pncan2 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((3 + 2) − 3) = 2)
226159, 171, 225mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 + 2) − 3) = 2
227224, 226eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 − 3) = 2
228227negeqi 10153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(5 − 3) = -2
229220, 222, 2283eqtr2i 2638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 − 1) − 5) = -2
230229oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 (((4 − 1) − 5) / 6) = (-2 / 6)
231 divneg 10598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → -(2 / 6) = (-2 / 6))
232171, 183, 177, 231mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) = (-2 / 6)
233230, 232eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 − 1) − 5) / 6) = -(2 / 6)
234233fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = (⌊‘-(2 / 6))
235178, 91, 189ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) ≤ 1
236178, 91lenegi 10452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 / 6) ≤ 1 ↔ -1 ≤ -(2 / 6))
237235, 236mpbi 219 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ≤ -(2 / 6)
238176, 178ltnegi 10451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < (2 / 6) ↔ -(2 / 6) < -0)
239180, 238mpbi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) < -0
240 neg0 10206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
241 1pneg1e0 11006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + -1) = 0
242240, 241eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = (1 + -1)
243 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
244243, 160addcomi 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 + 1) = (1 + -1)
245242, 244eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . . 14 -0 = (-1 + 1)
246239, 245breqtri 4608 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 / 6) < (-1 + 1)
247178renegcli 10221 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) ∈ ℝ
248 neg1z 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℤ
249 flbi 12479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-(2 / 6) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1))))
250247, 248, 249mp2an 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1)))
251237, 246, 250mpbir2an 957 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘-(2 / 6)) = -1
252234, 251eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = -1
253252oveq2i 6560 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1)
25473flcld 12461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℤ)
255254zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ)
256 subneg 10209 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
257255, 160, 256sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
258253, 257syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
259219, 258eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
260202, 259oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
261139, 260syl5eq 2656 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
26282recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2632622timesd 11152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
264 df-6 10960 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (5 + 1)
265221, 160addcomi 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 1) = (1 + 5)
266264, 265eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 6 = (1 + 5)
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 = (1 + 5))
268263, 267oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)))
269 addsub4 10203 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ)) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
270160, 221, 269mpanr12 717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
271262, 262, 270syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
272268, 271eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
273272oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6))
274 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
275171, 262, 274sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
276183, 177pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
277 divsubdir 10600 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
278183, 276, 277mp3an23 1408 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
279275, 278syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
280 3t2e6 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
281159, 171mulcomi 9925 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = (2 · 3)
282280, 281eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . 13 6 = (2 · 3)
283282oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) / 6) = ((2 · 𝑁) / (2 · 3))
284 3ne0 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 0
285159, 284pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
286 2cnne0 11119 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
287 divcan5 10606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
288285, 286, 287mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
289262, 288syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
290283, 289syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / 6) = (𝑁 / 3))
291183, 177dividi 10637 . . . . . . . . . . . 12 (6 / 6) = 1
292291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (6 / 6) = 1)
293290, 292oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)) = ((𝑁 / 3) − 1))
294279, 293eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = ((𝑁 / 3) − 1))
29579recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
29684recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℂ)
297 divdir 10589 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
298276, 297mp3an3 1405 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
299295, 296, 298syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
300273, 294, 2993eqtr3d 2652 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 3) − 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
301300oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1))
30221recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℂ)
303 npcan 10169 . . . . . . . 8 (((𝑁 / 3) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
304302, 160, 303sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
30581recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℂ)
30686recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℂ)
307160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
308305, 306, 307addassd 9941 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
309301, 304, 3083eqtr3d 2652 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
310113, 261, 3093brtr4d 4615 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ≤ (𝑁 / 3))
3119, 17, 21, 59, 310letrd 10073 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3))
3127a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
3136, 312, 21lesubaddd 10503 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3) ↔ (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
314311, 313mpbid 221 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
315314adantlr 747 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
3165ad2antrr 758 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ∈ ℝ)
3177a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ∈ ℝ)
31820ad2antrr 758 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
319 readdcl 9898 . . . 4 (((𝑁 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
320318, 7, 319sylancl 693 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
321 ppiwordi 24688 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
3221, 321mp3an2 1404 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
323322adantlr 747 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
324323, 24syl6breq 4624 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ 2)
325 3pos 10991 . . . . . 6 0 < 3
326 divge0 10771 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
3271, 325, 326mpanr12 717 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
328327adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
329 addge02 10418 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 3) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
3307, 318, 329sylancr 694 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
331328, 330mpbid 221 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
332316, 317, 320, 324, 331letrd 10073 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
3332, 3, 315, 332lecasei 10022 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453   mod cmo 12530  #chash 12979   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  πcppi 24620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-ppi 24626 This theorem is referenced by:  bposlem5  24813
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