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Theorem ppiub 22428
Description: An upper bound on the prime-counting function π, which counts the number of primes less than 
N. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiub  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )

Proof of Theorem ppiub
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3re 10383 . . 3  |-  3  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
3  e.  RR )
3 simpl 454 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  ->  N  e.  RR )
4 ppicl 22354 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  N )  e.  NN0 )
54nn0red 10625 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  N )  e.  RR )
65adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  RR )
7 2re 10379 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 resubcl 9661 . . . . . 6  |-  ( ( (π `  N )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
(π `  N )  - 
2 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 655 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  e.  RR )
10 fzfi 11778 . . . . . . . . 9  |-  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e. 
Fin
11 ssrab2 3425 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
12 ssfi 7521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } }  e.  Fin )
1310, 11, 12mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin
14 hashcl 12110 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }
)  e.  NN0 )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10578 . . . . . 6  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  e.  RR )
18 3nn 10468 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
19 nndivre 10345 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( N  /  3
)  e.  RR )
2018, 19mpan2 664 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  3 )  e.  RR )
2120adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  e.  RR )
22 ppifl 22383 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  N
) )  =  (π `  N ) )
2322adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  ( |_ `  N ) )  =  (π `  N ) )
24 ppi3 22394 . . . . . . . . 9  |-  (π `  3
)  =  2
2524a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  3 )  =  2 )
2623, 25oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( (π `  N
)  -  2 ) )
27 3z 10667 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
3  e.  ZZ )
29 flcl 11629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  ZZ )
3029adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ZZ )
31 flge 11639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  N  <->  3  <_  ( |_ `  N ) ) )
3227, 31mpan2 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  <->  3  <_  ( |_ `  N ) ) )
3332biimpa 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
3  <_  ( |_ `  N ) )
34 eluz2 10855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  ( |_
`  N )  e.  ZZ  /\  3  <_ 
( |_ `  N
) ) )
3528, 30, 33, 34syl3anbrc 1165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
36 ppidif 22386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (π `  ( |_ `  N
) )  -  (π `  3 ) )  =  ( # `  (
( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( # `  (
( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
38 df-4 10370 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
3938oveq1i 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  =  ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )
4039ineq1i 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  =  ( ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )
4140fveq2i 5682 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )  =  ( # `  ( ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )
4237, 41syl6eqr 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( # `  (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
4326, 42eqtr3d 2467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  =  (
# `  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime ) ) )
44 dfin5 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  k  e.  Prime }
45 elfzle1 11441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  4  <_  k )
46 ppiublem2 22427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  Prime  /\  4  <_  k )  ->  (
k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } )
4746expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  <_  k  ->  (
k  e.  Prime  ->  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } ) )
4845, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
k  e.  Prime  ->  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } ) )
4948ss2rabi 3422 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  k  e.  Prime }  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
5044, 49eqsstri 3374 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
51 ssdomg 7343 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin  ->  ( (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  ->  ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } ) )
5213, 50, 51mp2 9 . . . . . . 7  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
53 inss1 3558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
4 ... ( |_ `  N ) )
54 ssfi 7521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
4 ... ( |_ `  N ) ) )  ->  ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
5510, 53, 54mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  e.  Fin
56 hashdom 12126 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin )  ->  (
( # `  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime ) )  <_ 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  <-> 
( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } ) )
5755, 13, 56mp2an 665 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime ) )  <_  ( # `
 { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  <->  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )
5852, 57mpbir 209 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )  <_  ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }
)
5943, 58syl6eqbr 4317 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  <_  ( # `
 { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } ) )
60 reflcl 11630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
6160adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  RR )
62 peano2rem 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  N )  e.  RR  ->  (
( |_ `  N
)  -  1 )  e.  RR )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR )
64 6nn 10471 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
65 nndivre 10345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
6663, 64, 65sylancl 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
67 reflcl 11630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  e.  RR )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  RR )
69 5re 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  RR
70 resubcl 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  N
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR )
7161, 69, 70sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR )
72 nndivre 10345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
7371, 64, 72sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
74 reflcl 11630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  e.  RR )
7573, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  RR )
76 peano2re 9530 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 )  e.  RR )
7775, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  e.  RR )
78 peano2rem 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
7978adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  RR )
80 nndivre 10345 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
8179, 64, 80sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
82 simpl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  ->  N  e.  RR )
83 resubcl 9661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( N  -  5 )  e.  RR )
8482, 69, 83sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  5 )  e.  RR )
85 nndivre 10345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  5 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
8684, 64, 85sylancl 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
87 peano2re 9530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  (
( ( N  - 
5 )  /  6
)  +  1 )  e.  RR )
8886, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  -  5 )  / 
6 )  +  1 )  e.  RR )
89 flle 11633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  <_ 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )
9066, 89syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  <_  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 ) )
91 1re 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
93 flle 11633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  <_  N )
9493adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  <_  N )
9561, 82, 92, 94lesub1dd 9943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  1 )  <_  ( N  -  1 ) )
96 6re 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  e.  RR )
98 6pos 10408 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  6
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
0  <  6 )
100 lediv1 10182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR  /\  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  6
) ) )
10163, 79, 97, 99, 100syl112anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) ) )
10295, 101mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) )
10368, 66, 81, 90, 102letrd 9516 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) )
104 flle 11633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  <_ 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )
10573, 104syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  <_  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )
10669a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
5  e.  RR )
10761, 82, 106, 94lesub1dd 9943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  5 )  <_  ( N  -  5 ) )
108 lediv1 10182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR  /\  ( N  -  5
)  e.  RR  /\  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  <_  ( N  - 
5 )  <->  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 )  <_ 
( ( N  - 
5 )  /  6
) ) )
10971, 84, 97, 99, 108syl112anc 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  <_  ( N  -  5 )  <-> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
110107, 109mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )
11175, 73, 86, 105, 110letrd 9516 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )
11275, 86, 92, 111leadd1dd 9941 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  <_  ( (
( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) )
11368, 77, 81, 88, 103, 112le2addd 9945 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  +  ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )  <_  ( (
( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
114 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  mod  6 )  e. 
_V
115114elpr 3883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 }  <->  ( (
k  mod  6 )  =  1  \/  (
k  mod  6 )  =  5 ) )
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 }  <->  ( (
k  mod  6 )  =  1  \/  (
k  mod  6 )  =  5 ) ) )
117116rabbiia 2951 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  \/  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
118 unrab 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  \/  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
119117, 118eqtr4i 2456 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  =  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )
120119fveq2i 5682 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  =  (
# `  ( {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
121 ssrab2 3425 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
122 ssfi 7521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } 
C_  ( 4 ... ( |_ `  N
) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin )
12310, 121, 122mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin
124 ssrab2 3425 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
125 ssfi 7521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 } 
C_  ( 4 ... ( |_ `  N
) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  e.  Fin )
12610, 124, 125mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  e.  Fin
127 inrab 3610 . . . . . . . . . 10  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
128 rabeq0 3647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) }  =  (/)  <->  A. k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
129 1lt5 10485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  5
13091, 129ltneii 9475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  5
131 eqtr2 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 )  ->  1  =  5 )
132131necon3ai 2641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  =/=  5  ->  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
133130, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 )
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
135128, 134mprgbir 2776 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( ( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 ) }  =  (/)
136127, 135eqtri 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (/)
137 hashun 12129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin  /\  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 }  e.  Fin  /\  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 } ) )  =  ( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) ) )
138123, 126, 136, 137mp3an 1307 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )  =  ( (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  +  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
139120, 138eqtri 2453 . . . . . . 7  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  =  ( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
140 elfzelz 11440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  k  e.  ZZ )
141 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 6  e.  NN  ->  6  e.  RR+ )
14264, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  RR+
143 0le1 9851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  1
144 1lt6 10490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  6
145 modid 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  6  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  6
) )  ->  (
1  mod  6 )  =  1 )
14691, 142, 143, 144, 145mp4an 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  mod  6 )  =  1
147146eqeq2i 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  6 )  =  ( 1  mod  6 )  <->  ( k  mod  6 )  =  1 )
148 1z 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
149 moddvds 13525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 1  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  1 ) ) )
15064, 148, 149mp3an13 1298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 1  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  1 ) ) )
151147, 150syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  1  <->  6 
||  ( k  - 
1 ) ) )
152140, 151syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  =  1  <->  6 
||  ( k  - 
1 ) ) )
153152rabbiia 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  6  ||  (
k  -  1 ) }
154153fveq2i 5682 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  6  ||  (
k  -  1 ) } )
15564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  e.  NN )
156 4nn 10469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  NN
157156nnzi 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  ZZ
158157a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
15938oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  -  1 )  =  ( ( 3  +  1 )  -  1 )
160 3cn 10384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
161 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
162 pncan 9604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  1 )  -  1 )  =  3 )
163160, 161, 162mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  +  1 )  -  1 )  =  3
164159, 163eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  -  1 )  =  3
165164fveq2i 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  ( 4  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  3 )
16635, 165syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 4  -  1 ) ) )
167148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  ZZ )
168155, 158, 166, 167hashdvds 13833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  6 
||  ( k  - 
1 ) } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 ) ) ) )
169154, 168syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 ) ) ) )
170 df-3 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
171164, 170eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  -  1 )  =  ( 2  +  1 )
172171oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 4  -  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
173 2cn 10380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
174 pncan 9604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2 )
175173, 161, 174mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
176172, 175eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 4  -  1 )  -  1 )  =  2
177176oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 )  =  ( 2  /  6
)
178177fveq2i 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) )  =  ( |_ `  (
2  /  6 ) )
179 0re 9374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
18064nnne0i 10344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  =/=  0
1817, 96, 180redivcli 10086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  e.  RR
182 2nn 10467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
183182nngt0i 10343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
1847, 96, 183, 98divgt0ii 10238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  ( 2  /  6
)
185179, 181, 184ltleii 9485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( 2  /  6
)
186 2lt6 10489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <  6
187 6cn 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  CC
188187mulid1i 9376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  x.  1 )  =  6
189186, 188breqtrri 4305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  ( 6  x.  1 )
19096, 98pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 )
191 ltdivmul 10192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( 2  /  6 )  <  1  <->  2  <  (
6  x.  1 ) ) )
1927, 91, 190, 191mp3an 1307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  /  6 )  <  1  <->  2  <  ( 6  x.  1 ) )
193189, 192mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  <  1
194 1e0p1 10771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 0  +  1 )
195193, 194breqtri 4303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  /  6 )  < 
( 0  +  1 )
196 0z 10645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
197 flbi 11648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  /  6
)  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( 2  /  6
) )  =  0  <-> 
( 0  <_  (
2  /  6 )  /\  ( 2  / 
6 )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
198181, 196, 197mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( 2  /  6 ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( 2  / 
6 )  /\  (
2  /  6 )  <  ( 0  +  1 ) ) )
199185, 195, 198mpbir2an 904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( 2  / 
6 ) )  =  0
200178, 199eqtri 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) )  =  0
201200oveq2i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  - 
1 )  /  6
) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  0 )
20266flcld 11632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  ZZ )
203202zcnd 10736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  CC )
204203subid1d 9696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  0 )  =  ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) ) )
205201, 204syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) ) )  =  ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) ) )
206169, 205eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) ) )
207 5nn 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  NN
208207nngt0i 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  5
209179, 69, 208ltleii 9485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  5
210 5lt6 10486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  <  6
211 modid 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  6  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  6
) )  ->  (
5  mod  6 )  =  5 )
21269, 142, 209, 210, 211mp4an 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  mod  6 )  =  5
213212eqeq2i 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  6 )  =  ( 5  mod  6 )  <->  ( k  mod  6 )  =  5 )
214207nnzi 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  ZZ
215 moddvds 13525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 5  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  5 ) ) )
21664, 214, 215mp3an13 1298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 5  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  5 ) ) )
217213, 216syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  5  <->  6 
||  ( k  - 
5 ) ) )
218140, 217syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  =  5  <->  6 
||  ( k  - 
5 ) ) )
219218rabbiia 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  6  ||  (
k  -  5 ) }
220219fveq2i 5682 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  6  ||  (
k  -  5 ) } )
221214a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
5  e.  ZZ )
222155, 158, 166, 221hashdvds 13833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  6 
||  ( k  - 
5 ) } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 ) ) ) )
223220, 222syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 ) ) ) )
224164oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  -  1 )  -  5 )  =  ( 3  -  5 )
225 5cn 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  5  e.  CC
226225, 160negsubdi2i 9682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u (
5  -  3 )  =  ( 3  -  5 )
227 3p2e5 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  +  2 )  =  5
228227oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  ( 5  -  3 )
229 pncan2 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  2 )
230160, 173, 229mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  2
231228, 230eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 5  -  3 )  =  2
232231negeqi 9591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u (
5  -  3 )  =  -u 2
233224, 226, 2323eqtr2i 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 4  -  1 )  -  5 )  = 
-u 2
234233oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 )  =  ( -u 2  / 
6 )
235 divneg 10014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  6 )  =  ( -u 2  /  6 ) )
236173, 187, 180, 235mp3an 1307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  =  ( -u 2  /  6 )
237234, 236eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 )  = 
-u ( 2  / 
6 )
238237fveq2i 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) )  =  ( |_ `  -u (
2  /  6 ) )
239181, 91, 193ltleii 9485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  <_ 
1
240181, 91lenegi 9873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  /  6 )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( 2  /  6
) )
241239, 240mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  <_ 
-u ( 2  / 
6 )
242179, 181ltnegi 9872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  ( 2  / 
6 )  <->  -u ( 2  /  6 )  <  -u 0 )
243184, 242mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  <  -u 0
244 neg0 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 0  =  0
245 1pneg1e0 10418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
246244, 245eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 0  =  ( 1  + 
-u 1 )
247 neg1cn 10413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  CC
248247, 161addcomi 9548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1  +  1 )  =  ( 1  + 
-u 1 )
249246, 248eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 0  =  ( -u 1  +  1 )
250243, 249breqtri 4303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  /  6 )  <  ( -u 1  +  1 )
251181renegcli 9658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  e.  RR
252 neg1z 10669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  ZZ
253 flbi 11648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u ( 2  / 
6 )  e.  RR  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  -u ( 2  / 
6 ) )  = 
-u 1  <->  ( -u 1  <_ 
-u ( 2  / 
6 )  /\  -u (
2  /  6 )  <  ( -u 1  +  1 ) ) ) )
254251, 252, 253mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  -u (
2  /  6 ) )  =  -u 1  <->  (
-u 1  <_  -u (
2  /  6 )  /\  -u ( 2  / 
6 )  <  ( -u 1  +  1 ) ) )
255241, 250, 254mpbir2an 904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  -u ( 2  / 
6 ) )  = 
-u 1
256238, 255eqtri 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) )  = 
-u 1
257256oveq2i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  - 
5 )  /  6
) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)
25873flcld 11632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  ZZ )
259258zcnd 10736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  CC )
260 subneg 9646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
261259, 161, 260sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
262257, 261syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  +  1 ) )
263223, 262eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  +  1 ) )
264206, 263oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  +  ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) ) )
265139, 264syl5eq 2477 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 ) ) )
26682recnd 9400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  ->  N  e.  CC )
2672662timesd 10555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
268 df-6 10372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  =  ( 5  +  1 )
269225, 161addcomi 9548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  +  1 )  =  ( 1  +  5 )
270268, 269eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  =  ( 1  +  5 )
271270a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  =  ( 1  +  5 ) )
272267, 271oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  6 )  =  ( ( N  +  N )  -  ( 1  +  5 ) ) )
273 addsub4 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( 1  e.  CC  /\  5  e.  CC ) )  -> 
( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
274161, 225, 273mpanr12 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
275266, 266, 274syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
276272, 275eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  6 )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
277276oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( ( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6 ) )
278 mulcl 9354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
279173, 266, 278sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  CC )
280187, 180pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )
281 divsubdir 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  6 )  / 
6 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  6
)  -  ( 6  /  6 ) ) )
282187, 280, 281mp3an23 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  6 )  /  6 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  6 )  -  ( 6  /  6
) ) )
283279, 282syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  /  6 )  -  ( 6  / 
6 ) ) )
284 3t2e6 10461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
285160, 173mulcomi 9380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
286284, 285eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  =  ( 2  x.  3 )
287286oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  /  6 )  =  ( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )
288 3ne0 10404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =/=  0
289160, 288pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
290 2cnne0 10524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
291 divcan5 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )  =  ( N  /  3 ) )
292289, 290, 291mp3an23 1299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  /  ( 2  x.  3 ) )  =  ( N  / 
3 ) )
293266, 292syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )  =  ( N  /  3 ) )
294287, 293syl5eq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  6
)  =  ( N  /  3 ) )
295187, 180dividi 10052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  /  6 )  =  1
296295a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 6  /  6
)  =  1 )
297294, 296oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
6 )  -  (
6  /  6 ) )  =  ( ( N  /  3 )  -  1 ) )
298283, 297eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( N  /  3 )  -  1 ) )
29979recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  CC )
30084recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  5 )  e.  CC )
301 divdir 10005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  -  5
)  e.  CC  /\  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6 )  =  ( ( ( N  -  1 )  / 
6 )  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
302280, 301mp3an3 1296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  -  5
)  e.  CC )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) )  / 
6 )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  6
)  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
303299, 300, 302syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  -  5 )  / 
6 ) ) )
304277, 298, 3033eqtr3d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  / 
3 )  -  1 )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  -  5 )  / 
6 ) ) )
305304oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( N  - 
1 )  /  6
)  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
30621recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  e.  CC )
307 npcan 9607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  /  3
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( N  /  3 ) )
308306, 161, 307sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( N  /  3 ) )
30981recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  CC )
31086recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  CC )
311161a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  CC )
312309, 310, 311addassd 9396 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
313305, 308, 3123eqtr3d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
314113, 265, 3133brtr4d 4310 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  <_  ( N  / 
3 ) )
3159, 17, 21, 59, 314letrd 9516 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  <_  ( N  /  3 ) )
3167a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
3176, 316, 21lesubaddd 9924 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  -  2 )  <_  ( N  / 
3 )  <->  (π `  N
)  <_  ( ( N  /  3 )  +  2 ) ) )
318315, 317mpbid 210 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
319318adantlr 707 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  3  <_  N )  ->  (π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
3205ad2antrr 718 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  e.  RR )
3217a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  2  e.  RR )
32220ad2antrr 718 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  / 
3 )  e.  RR )
323 readdcl 9353 . . . 4  |-  ( ( ( N  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( N  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
324322, 7, 323sylancl 655 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( ( N  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
325 ppiwordi 22385 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_  (π `  3 ) )
3261, 325mp3an2 1295 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  <_  3 )  -> 
(π `  N )  <_ 
(π `  3 ) )
327326adantlr 707 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
(π `  3 ) )
328327, 24syl6breq 4319 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
2 )
329 3pos 10403 . . . . . 6  |-  0  <  3
330 divge0 10186 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  0  <_  ( N  /  3 ) )
3311, 329, 330mpanr12 678 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
0  <_  ( N  /  3 ) )
332331adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  0  <_  ( N  /  3 ) )
333 addge02 9838 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( N  /  3
)  <->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) ) )
3347, 322, 333sylancr 656 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( 0  <_ 
( N  /  3
)  <->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) ) )
335332, 334mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) )
336320, 321, 324, 328, 335letrd 9516 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
3372, 3, 319, 336lecasei 9468 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   {crab 2709    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {cpr 3867   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ~<_ cdom 7296   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   5c5 10362   6c6 10363   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   ...cfz 11424   |_cfl 11624    mod cmo 11692   #chash 12087    || cdivides 13518   Primecprime 13746  πcppi 22316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-dvds 13519  df-prm 13747  df-ppi 22322
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