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Theorem ppiub 23995
Description: An upper bound on the prime-counting function π, which counts the number of primes less than 
N. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiub  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )

Proof of Theorem ppiub
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3re 10683 . . 3  |-  3  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
3  e.  RR )
3 simpl 458 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  ->  N  e.  RR )
4 ppicl 23921 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  N )  e.  NN0 )
54nn0red 10926 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  N )  e.  RR )
65adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  RR )
7 2re 10679 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 resubcl 9937 . . . . . 6  |-  ( ( (π `  N )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
(π `  N )  - 
2 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  e.  RR )
10 fzfi 12182 . . . . . . . . 9  |-  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e. 
Fin
11 ssrab2 3552 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
12 ssfi 7798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } }  e.  Fin )
1310, 11, 12mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin
14 hashcl 12535 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }
)  e.  NN0 )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10880 . . . . . 6  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  e.  RR )
18 3nn 10768 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
19 nndivre 10645 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( N  /  3
)  e.  RR )
2018, 19mpan2 675 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  3 )  e.  RR )
2120adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  e.  RR )
22 ppifl 23950 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  N
) )  =  (π `  N ) )
2322adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  ( |_ `  N ) )  =  (π `  N ) )
24 ppi3 23961 . . . . . . . . 9  |-  (π `  3
)  =  2
2524a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  3 )  =  2 )
2623, 25oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( (π `  N
)  -  2 ) )
27 3z 10970 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
3  e.  ZZ )
29 flcl 12028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  ZZ )
3029adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ZZ )
31 flge 12038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  N  <->  3  <_  ( |_ `  N ) ) )
3227, 31mpan2 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  <->  3  <_  ( |_ `  N ) ) )
3332biimpa 486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
3  <_  ( |_ `  N ) )
34 eluz2 11165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  ( |_
`  N )  e.  ZZ  /\  3  <_ 
( |_ `  N
) ) )
3528, 30, 33, 34syl3anbrc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
36 ppidif 23953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (π `  ( |_ `  N
) )  -  (π `  3 ) )  =  ( # `  (
( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( # `  (
( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
38 df-4 10670 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
3938oveq1i 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  =  ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )
4039ineq1i 3666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  =  ( ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )
4140fveq2i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )  =  ( # `  ( ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )
4237, 41syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( # `  (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
4326, 42eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  =  (
# `  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime ) ) )
44 dfin5 3450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  k  e.  Prime }
45 elfzle1 11800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  4  <_  k )
46 ppiublem2 23994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  Prime  /\  4  <_  k )  ->  (
k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } )
4746expcom 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  <_  k  ->  (
k  e.  Prime  ->  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } ) )
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
k  e.  Prime  ->  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } ) )
4948ss2rabi 3549 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  k  e.  Prime }  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
5044, 49eqsstri 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
51 ssdomg 7622 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin  ->  ( (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  ->  ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } ) )
5213, 50, 51mp2 9 . . . . . . 7  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
53 inss1 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
4 ... ( |_ `  N ) )
54 ssfi 7798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
4 ... ( |_ `  N ) ) )  ->  ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
5510, 53, 54mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  e.  Fin
56 hashdom 12555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin )  ->  (
( # `  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime ) )  <_ 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  <-> 
( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } ) )
5755, 13, 56mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime ) )  <_  ( # `
 { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  <->  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )
5852, 57mpbir 212 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )  <_  ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }
)
5943, 58syl6eqbr 4463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  <_  ( # `
 { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } ) )
60 reflcl 12029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
6160adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  RR )
62 peano2rem 9940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  N )  e.  RR  ->  (
( |_ `  N
)  -  1 )  e.  RR )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR )
64 6nn 10771 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
65 nndivre 10645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
6663, 64, 65sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
67 reflcl 12029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  e.  RR )
6866, 67syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  RR )
69 5re 10688 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  RR
70 resubcl 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  N
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR )
7161, 69, 70sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR )
72 nndivre 10645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
7371, 64, 72sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
74 reflcl 12029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  e.  RR )
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  RR )
76 peano2re 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 )  e.  RR )
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  e.  RR )
78 peano2rem 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
7978adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  RR )
80 nndivre 10645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
8179, 64, 80sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
82 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  ->  N  e.  RR )
83 resubcl 9937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( N  -  5 )  e.  RR )
8482, 69, 83sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  5 )  e.  RR )
85 nndivre 10645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  5 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
8684, 64, 85sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
87 peano2re 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  (
( ( N  - 
5 )  /  6
)  +  1 )  e.  RR )
8886, 87syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  -  5 )  / 
6 )  +  1 )  e.  RR )
89 flle 12032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  <_ 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )
9066, 89syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  <_  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 ) )
91 1re 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
93 flle 12032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  <_  N )
9493adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  <_  N )
9561, 82, 92, 94lesub1dd 10228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  1 )  <_  ( N  -  1 ) )
96 6re 10690 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  e.  RR )
98 6pos 10708 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  6
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
0  <  6 )
100 lediv1 10469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR  /\  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  6
) ) )
10163, 79, 97, 99, 100syl112anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) ) )
10295, 101mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) )
10368, 66, 81, 90, 102letrd 9791 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) )
104 flle 12032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  <_ 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )
10573, 104syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  <_  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )
10669a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
5  e.  RR )
10761, 82, 106, 94lesub1dd 10228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  5 )  <_  ( N  -  5 ) )
108 lediv1 10469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR  /\  ( N  -  5
)  e.  RR  /\  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  <_  ( N  - 
5 )  <->  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 )  <_ 
( ( N  - 
5 )  /  6
) ) )
10971, 84, 97, 99, 108syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  <_  ( N  -  5 )  <-> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
110107, 109mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )
11175, 73, 86, 105, 110letrd 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )
11275, 86, 92, 111leadd1dd 10226 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  <_  ( (
( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) )
11368, 77, 81, 88, 103, 112le2addd 10231 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  +  ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )  <_  ( (
( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
114 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  mod  6 )  e. 
_V
115114elpr 4020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 }  <->  ( (
k  mod  6 )  =  1  \/  (
k  mod  6 )  =  5 ) )
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 }  <->  ( (
k  mod  6 )  =  1  \/  (
k  mod  6 )  =  5 ) ) )
117116rabbiia 3076 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  \/  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
118 unrab 3750 . . . . . . . . . 10  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  \/  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
119117, 118eqtr4i 2461 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  =  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )
120119fveq2i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  =  (
# `  ( {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
121 ssrab2 3552 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
122 ssfi 7798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } 
C_  ( 4 ... ( |_ `  N
) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin )
12310, 121, 122mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin
124 ssrab2 3552 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
125 ssfi 7798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 } 
C_  ( 4 ... ( |_ `  N
) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  e.  Fin )
12610, 124, 125mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  e.  Fin
127 inrab 3751 . . . . . . . . . 10  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
128 rabeq0 3790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) }  =  (/)  <->  A. k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
129 1lt5 10785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  5
13091, 129ltneii 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  5
131 eqtr2 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 )  ->  1  =  5 )
132131necon3ai 2659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  =/=  5  ->  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
133130, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 )
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
135128, 134mprgbir 2796 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( ( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 ) }  =  (/)
136127, 135eqtri 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (/)
137 hashun 12558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin  /\  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 }  e.  Fin  /\  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 } ) )  =  ( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) ) )
138123, 126, 136, 137mp3an 1360 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )  =  ( (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  +  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
139120, 138eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  =  ( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
140 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  k  e.  ZZ )
141 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 6  e.  NN  ->  6  e.  RR+ )
14264, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  RR+
143 0le1 10136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  1
144 1lt6 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  6
145 modid 12118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  6  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  6
) )  ->  (
1  mod  6 )  =  1 )
14691, 142, 143, 144, 145mp4an 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  mod  6 )  =  1
147146eqeq2i 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  6 )  =  ( 1  mod  6 )  <->  ( k  mod  6 )  =  1 )
148 1z 10967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
149 moddvds 14290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 1  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  1 ) ) )
15064, 148, 149mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 1  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  1 ) ) )
151147, 150syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  1  <->  6 
||  ( k  - 
1 ) ) )
152140, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  =  1  <->  6 
||  ( k  - 
1 ) ) )
153152rabbiia 3076 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  6  ||  (
k  -  1 ) }
154153fveq2i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  6  ||  (
k  -  1 ) } )
15564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  e.  NN )
156 4z 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  ZZ
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
15838oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  -  1 )  =  ( ( 3  +  1 )  -  1 )
159 3cn 10684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
160 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
161159, 160pncan3oi 9890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  +  1 )  -  1 )  =  3
162158, 161eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  -  1 )  =  3
163162fveq2i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  ( 4  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  3 )
16435, 163syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 4  -  1 ) ) )
165148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  ZZ )
166155, 157, 164, 165hashdvds 14692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  6 
||  ( k  - 
1 ) } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 ) ) ) )
167154, 166syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 ) ) ) )
168 df-3 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
169162, 168eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  -  1 )  =  ( 2  +  1 )
170169oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 4  -  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
171 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
172171, 160pncan3oi 9890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
173170, 172eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 4  -  1 )  -  1 )  =  2
174173oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 )  =  ( 2  /  6
)
175174fveq2i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) )  =  ( |_ `  (
2  /  6 ) )
176 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
17764nnne0i 10644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  =/=  0
1787, 96, 177redivcli 10373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  e.  RR
179 2pos 10701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
1807, 96, 179, 98divgt0ii 10524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  ( 2  /  6
)
181176, 178, 180ltleii 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( 2  /  6
)
182 2lt6 10789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <  6
183 6cn 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  CC
184183mulid1i 9644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  x.  1 )  =  6
185182, 184breqtrri 4451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  ( 6  x.  1 )
18696, 98pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 )
187 ltdivmul 10479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( 2  /  6 )  <  1  <->  2  <  (
6  x.  1 ) ) )
1887, 91, 186, 187mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  /  6 )  <  1  <->  2  <  ( 6  x.  1 ) )
189185, 188mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  <  1
190 1e0p1 11079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 0  +  1 )
191189, 190breqtri 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  /  6 )  < 
( 0  +  1 )
192 0z 10948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
193 flbi 12048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  /  6
)  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( 2  /  6
) )  =  0  <-> 
( 0  <_  (
2  /  6 )  /\  ( 2  / 
6 )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
194178, 192, 193mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( 2  /  6 ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( 2  / 
6 )  /\  (
2  /  6 )  <  ( 0  +  1 ) ) )
195181, 191, 194mpbir2an 928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( 2  / 
6 ) )  =  0
196175, 195eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) )  =  0
197196oveq2i 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  - 
1 )  /  6
) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  0 )
19866flcld 12031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  ZZ )
199198zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  CC )
200199subid1d 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  0 )  =  ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) ) )
201197, 200syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) ) )  =  ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) ) )
202167, 201eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) ) )
203 5pos 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  5
204176, 69, 203ltleii 9756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  5
205 5lt6 10786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  <  6
206 modid 12118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  6  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  6
) )  ->  (
5  mod  6 )  =  5 )
20769, 142, 204, 205, 206mp4an 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  mod  6 )  =  5
208207eqeq2i 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  6 )  =  ( 5  mod  6 )  <->  ( k  mod  6 )  =  5 )
209 5nn 10770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  e.  NN
210209nnzi 10961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  ZZ
211 moddvds 14290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 5  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  5 ) ) )
21264, 210, 211mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 5  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  5 ) ) )
213208, 212syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  5  <->  6 
||  ( k  - 
5 ) ) )
214140, 213syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  =  5  <->  6 
||  ( k  - 
5 ) ) )
215214rabbiia 3076 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  6  ||  (
k  -  5 ) }
216215fveq2i 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  6  ||  (
k  -  5 ) } )
217210a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
5  e.  ZZ )
218155, 157, 164, 217hashdvds 14692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  6 
||  ( k  - 
5 ) } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 ) ) ) )
219216, 218syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 ) ) ) )
220162oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  -  1 )  -  5 )  =  ( 3  -  5 )
221 5cn 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  5  e.  CC
222221, 159negsubdi2i 9960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u (
5  -  3 )  =  ( 3  -  5 )
223 3p2e5 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  +  2 )  =  5
224223oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  ( 5  -  3 )
225 pncan2 9881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  2 )
226159, 171, 225mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  2
227224, 226eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 5  -  3 )  =  2
228227negeqi 9867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u (
5  -  3 )  =  -u 2
229220, 222, 2283eqtr2i 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 4  -  1 )  -  5 )  = 
-u 2
230229oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 )  =  ( -u 2  / 
6 )
231 divneg 10301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  6 )  =  ( -u 2  /  6 ) )
232171, 183, 177, 231mp3an 1360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  =  ( -u 2  /  6 )
233230, 232eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 )  = 
-u ( 2  / 
6 )
234233fveq2i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) )  =  ( |_ `  -u (
2  /  6 ) )
235178, 91, 189ltleii 9756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  <_ 
1
236178, 91lenegi 10158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  /  6 )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( 2  /  6
) )
237235, 236mpbi 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  <_ 
-u ( 2  / 
6 )
238176, 178ltnegi 10157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  ( 2  / 
6 )  <->  -u ( 2  /  6 )  <  -u 0 )
239180, 238mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  <  -u 0
240 neg0 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 0  =  0
241 1pneg1e0 10718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
242240, 241eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 0  =  ( 1  + 
-u 1 )
243 neg1cn 10713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  CC
244243, 160addcomi 9823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1  +  1 )  =  ( 1  + 
-u 1 )
245242, 244eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 0  =  ( -u 1  +  1 )
246239, 245breqtri 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  /  6 )  <  ( -u 1  +  1 )
247178renegcli 9934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  e.  RR
248 neg1z 10973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  ZZ
249 flbi 12048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u ( 2  / 
6 )  e.  RR  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  -u ( 2  / 
6 ) )  = 
-u 1  <->  ( -u 1  <_ 
-u ( 2  / 
6 )  /\  -u (
2  /  6 )  <  ( -u 1  +  1 ) ) ) )
250247, 248, 249mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  -u (
2  /  6 ) )  =  -u 1  <->  (
-u 1  <_  -u (
2  /  6 )  /\  -u ( 2  / 
6 )  <  ( -u 1  +  1 ) ) )
251237, 246, 250mpbir2an 928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  -u ( 2  / 
6 ) )  = 
-u 1
252234, 251eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) )  = 
-u 1
253252oveq2i 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  - 
5 )  /  6
) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)
25473flcld 12031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  ZZ )
255254zcnd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  CC )
256 subneg 9922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
257255, 160, 256sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
258253, 257syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  +  1 ) )
259219, 258eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  +  1 ) )
260202, 259oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  +  ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) ) )
261139, 260syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 ) ) )
26282recnd 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  ->  N  e.  CC )
2632622timesd 10855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
264 df-6 10672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  =  ( 5  +  1 )
265221, 160addcomi 9823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  +  1 )  =  ( 1  +  5 )
266264, 265eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  =  ( 1  +  5 )
267266a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  =  ( 1  +  5 ) )
268263, 267oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  6 )  =  ( ( N  +  N )  -  ( 1  +  5 ) ) )
269 addsub4 9916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( 1  e.  CC  /\  5  e.  CC ) )  -> 
( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
270160, 221, 269mpanr12 689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
271262, 262, 270syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
272268, 271eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  6 )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
273272oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( ( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6 ) )
274 mulcl 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
275171, 262, 274sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  CC )
276183, 177pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )
277 divsubdir 10302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  6 )  / 
6 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  6
)  -  ( 6  /  6 ) ) )
278183, 276, 277mp3an23 1352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  6 )  /  6 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  6 )  -  ( 6  /  6
) ) )
279275, 278syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  /  6 )  -  ( 6  / 
6 ) ) )
280 3t2e6 10761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
281159, 171mulcomi 9648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
282280, 281eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  =  ( 2  x.  3 )
283282oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  /  6 )  =  ( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )
284 3ne0 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =/=  0
285159, 284pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
286 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
287 divcan5 10308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )  =  ( N  /  3 ) )
288285, 286, 287mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  /  ( 2  x.  3 ) )  =  ( N  / 
3 ) )
289262, 288syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )  =  ( N  /  3 ) )
290283, 289syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  6
)  =  ( N  /  3 ) )
291183, 177dividi 10339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  /  6 )  =  1
292291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 6  /  6
)  =  1 )
293290, 292oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
6 )  -  (
6  /  6 ) )  =  ( ( N  /  3 )  -  1 ) )
294279, 293eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( N  /  3 )  -  1 ) )
29579recnd 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  CC )
29684recnd 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  5 )  e.  CC )
297 divdir 10292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  -  5
)  e.  CC  /\  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6 )  =  ( ( ( N  -  1 )  / 
6 )  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
298276, 297mp3an3 1349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  -  5
)  e.  CC )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) )  / 
6 )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  6
)  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
299295, 296, 298syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  -  5 )  / 
6 ) ) )
300273, 294, 2993eqtr3d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  / 
3 )  -  1 )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  -  5 )  / 
6 ) ) )
301300oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( N  - 
1 )  /  6
)  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
30221recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  e.  CC )
303 npcan 9883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  /  3
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( N  /  3 ) )
304302, 160, 303sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( N  /  3 ) )
30581recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  CC )
30686recnd 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  CC )
307160a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  CC )
308305, 306, 307addassd 9664 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
309301, 304, 3083eqtr3d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
310113, 261, 3093brtr4d 4456 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  <_  ( N  / 
3 ) )
3119, 17, 21, 59, 310letrd 9791 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  <_  ( N  /  3 ) )
3127a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
3136, 312, 21lesubaddd 10209 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  -  2 )  <_  ( N  / 
3 )  <->  (π `  N
)  <_  ( ( N  /  3 )  +  2 ) ) )
314311, 313mpbid 213 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
315314adantlr 719 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  3  <_  N )  ->  (π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
3165ad2antrr 730 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  e.  RR )
3177a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  2  e.  RR )
31820ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  / 
3 )  e.  RR )
319 readdcl 9621 . . . 4  |-  ( ( ( N  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( N  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
320318, 7, 319sylancl 666 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( ( N  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
321 ppiwordi 23952 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_  (π `  3 ) )
3221, 321mp3an2 1348 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  <_  3 )  -> 
(π `  N )  <_ 
(π `  3 ) )
323322adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
(π `  3 ) )
324323, 24syl6breq 4465 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
2 )
325 3pos 10703 . . . . . 6  |-  0  <  3
326 divge0 10473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  0  <_  ( N  /  3 ) )
3271, 325, 326mpanr12 689 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
0  <_  ( N  /  3 ) )
328327adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  0  <_  ( N  /  3 ) )
329 addge02 10124 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( N  /  3
)  <->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) ) )
3307, 318, 329sylancr 667 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( 0  <_ 
( N  /  3
)  <->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) ) )
331328, 330mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) )
332316, 317, 320, 324, 331letrd 9791 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
3332, 3, 315, 332lecasei 9739 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   {crab 2786    u. cun 3440    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {cpr 4004   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ~<_ cdom 7575   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11782   |_cfl 12023    mod cmo 12093   #chash 12512    || cdvds 14283   Primecprime 14593  πcppi 23883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-prm 14594  df-ppi 23889
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