MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Structured version   Unicode version

Theorem fzfi 11786
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7532 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2498 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 233 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 11456 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7494 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3566 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3381 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 11785 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 10900 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 10884 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 5984 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3349 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 11783 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7522 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 195 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2682 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967    i^i cin 3322   (/)c0 3632   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   Oncon0 4714   `'ccnv 4834    |` cres 4837   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   omcom 6471   reccrdg 6857    ~~ cen 7299   Fincfn 7302   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    - cmin 9587   NN0cn0 10571   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  fzfid  11787  fzofi  11788  fsequb  11789  fsequb2  11790  fseqsupcl  11791  seqf1o  11839  hashdom  12134  fzsdom2  12181  hashfzdm  12194  seqcoll2  12209  caubnd  12838  limsupgre  12951  fz1f1o  13179  summolem3  13183  summolem2  13185  zsum  13187  phicl2  13835  phibnd  13838  hashdvds  13842  phiprmpw  13843  eulerth  13850  pcfac  13953  prmreclem2  13970  prmreclem3  13971  prmreclem4  13972  prmreclem5  13973  prmrec  13975  1arith  13980  vdwlem6  14039  vdwlem10  14043  vdwlem12  14045  isstruct2  14175  gsumval3OLD  16373  gsumval3lem1  16374  gsumval3lem2  16375  gsumval3  16376  coe1mul2  17698  ovoliunlem2  20961  uniioombllem6  21043  itg0  21232  itgz  21233  coemullem  21692  aannenlem1  21769  aannenlem2  21770  birthdaylem1  22320  birthdaylem2  22321  wilthlem2  22382  wilthlem3  22383  ftalem5  22389  ppifi  22418  prmdvdsfi  22420  chtdif  22471  ppidif  22476  chp1  22480  ppiltx  22490  prmorcht  22491  mumul  22494  sqff1o  22495  ppiub  22518  pclogsum  22529  logexprlim  22539  lgseisenlem2  22664  axlowdimlem16  23154  wlks  23376  wlkres  23379  trls  23386  crcts  23459  cycls  23460  konigsberg  23559  esumpcvgval  26479  esumcvg  26487  oddpwdc  26689  eulerpartlemb  26703  ballotlem1  26821  ballotlem2  26823  ballotlemfelz  26825  ballotlemfp1  26826  ballotlemfc0  26827  ballotlemfcc  26828  ballotlemfmpn  26829  ballotlemiex  26836  ballotlemsup  26839  ballotlemfg  26860  ballotlemfrc  26861  ballotlemfrceq  26863  ballotth  26872  plymulx0  26900  subfacf  27015  subfacp1lem1  27019  subfacp1lem3  27022  subfacp1lem5  27024  subfacp1lem6  27025  erdszelem2  27032  erdszelem10  27040  cvmliftlem15  27139  prodmolem3  27397  prodmolem2  27399  zprod  27401  risefallfac  27478  bpolylem  28142  mblfinlem2  28382  volsupnfl  28389  itg2addnclem2  28397  nnubfi  28599  nninfnub  28600  cntotbnd  28648  eldioph2lem1  29051  eldioph2lem2  29052  eldioph2  29053  pellexlem5  29127  pellex  29129  jm2.22  29297  jm2.23  29298  hbt  29439  phisum  29520  stoweidlem37  29785  stoweidlem44  29792  stoweidlem59  29807  ssnn0fi  30697
  Copyright terms: Public domain W3C validator