MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Structured version   Unicode version

Theorem fzfi 12084
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7766 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2529 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 233 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 11725 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7728 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3715 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3529 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 12083 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 11159 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 6189 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3497 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 12081 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7756 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 195 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2770 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    i^i cin 3470   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   Oncon0 4887   `'ccnv 5007    |` cres 5010   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699   reccrdg 7093    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    - cmin 9824   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  fzfid  12085  fzofi  12086  fsequb  12087  fsequb2  12088  fseqsupcl  12089  ssnn0fi  12096  seqf1o  12150  hashdom  12449  fzsdom2  12489  hashfzdm  12501  seqcoll2  12516  caubnd  13202  limsupgre  13315  fz1f1o  13543  summolem3  13547  summolem2  13549  zsum  13551  prodmolem3  13751  prodmolem2  13753  zprod  13755  phicl2  14309  phibnd  14312  hashdvds  14316  phiprmpw  14317  eulerth  14324  pcfac  14429  prmreclem2  14446  prmreclem3  14447  prmreclem4  14448  prmreclem5  14449  prmrec  14451  1arith  14456  vdwlem6  14515  vdwlem10  14519  vdwlem12  14521  isstruct2  14652  gsumval3OLD  17034  gsumval3lem1  17035  gsumval3lem2  17036  gsumval3  17037  coe1mul2  18436  ovoliunlem2  22039  uniioombllem6  22122  itg0  22311  itgz  22312  coemullem  22772  aannenlem1  22849  aannenlem2  22850  birthdaylem1  23406  birthdaylem2  23407  wilthlem2  23468  wilthlem3  23469  ftalem5  23475  ppifi  23504  prmdvdsfi  23506  chtdif  23557  ppidif  23562  chp1  23566  ppiltx  23576  prmorcht  23577  mumul  23580  sqff1o  23581  ppiub  23604  pclogsum  23615  logexprlim  23625  lgseisenlem2  23750  axlowdimlem16  24386  wlks  24645  wlkres  24648  trls  24664  crcts  24748  cycls  24749  konigsberg  25113  esumpcvgval  28240  esumcvg  28248  oddpwdc  28468  eulerpartlemb  28482  ballotlem1  28600  ballotlem2  28602  ballotlemfelz  28604  ballotlemfp1  28605  ballotlemfc0  28606  ballotlemfcc  28607  ballotlemfmpn  28608  ballotlemiex  28615  ballotlemsup  28618  ballotlemfg  28639  ballotlemfrc  28640  ballotlemfrceq  28642  ballotth  28651  plymulx0  28679  subfacf  28794  subfacp1lem1  28798  subfacp1lem3  28801  subfacp1lem5  28803  subfacp1lem6  28804  erdszelem2  28811  erdszelem10  28819  cvmliftlem15  28918  risefallfac  29321  bpolylem  29972  mblfinlem2  30214  volsupnfl  30221  itg2addnclem2  30229  nnubfi  30405  nninfnub  30406  cntotbnd  30454  eldioph2lem1  30855  eldioph2lem2  30856  eldioph2  30857  pellexlem5  30931  pellex  30933  jm2.22  31099  jm2.23  31100  hbt  31241  phisum  31321  fzisoeu  31661  sumnnodd  31797  stoweidlem37  31980  stoweidlem44  31987  stoweidlem59  32002  fourierdlem37  32087  fourierdlem103  32153  fourierdlem104  32154  etransclem16  32194  etransclem24  32202  etransclem25  32203  etransclem33  32211  etransclem35  32213  etransclem44  32222  etransclem45  32223  aacllem  33318  rp-isfinite4  37843  rp-isfinite6  37845
  Copyright terms: Public domain W3C validator