MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Structured version   Unicode version

Theorem fzfi 12046
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7744 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2539 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 233 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 11696 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7706 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3719 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3534 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 12045 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 11130 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 11109 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 6174 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3502 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 12043 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7734 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 195 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2780 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    i^i cin 3475   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   `'ccnv 4998    |` cres 5001   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678   reccrdg 7072    ~~ cen 7510   Fincfn 7513   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    - cmin 9801   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  fzfid  12047  fzofi  12048  fsequb  12049  fsequb2  12050  fseqsupcl  12051  ssnn0fi  12058  seqf1o  12112  hashdom  12411  fzsdom2  12447  hashfzdm  12460  seqcoll2  12475  caubnd  13150  limsupgre  13263  fz1f1o  13491  summolem3  13495  summolem2  13497  zsum  13499  phicl2  14153  phibnd  14156  hashdvds  14160  phiprmpw  14161  eulerth  14168  pcfac  14273  prmreclem2  14290  prmreclem3  14291  prmreclem4  14292  prmreclem5  14293  prmrec  14295  1arith  14300  vdwlem6  14359  vdwlem10  14363  vdwlem12  14365  isstruct2  14495  gsumval3OLD  16699  gsumval3lem1  16700  gsumval3lem2  16701  gsumval3  16702  coe1mul2  18081  ovoliunlem2  21649  uniioombllem6  21732  itg0  21921  itgz  21922  coemullem  22381  aannenlem1  22458  aannenlem2  22459  birthdaylem1  23009  birthdaylem2  23010  wilthlem2  23071  wilthlem3  23072  ftalem5  23078  ppifi  23107  prmdvdsfi  23109  chtdif  23160  ppidif  23165  chp1  23169  ppiltx  23179  prmorcht  23180  mumul  23183  sqff1o  23184  ppiub  23207  pclogsum  23218  logexprlim  23228  lgseisenlem2  23353  axlowdimlem16  23936  wlks  24195  wlkres  24198  trls  24214  crcts  24298  cycls  24299  konigsberg  24663  esumpcvgval  27724  esumcvg  27732  oddpwdc  27933  eulerpartlemb  27947  ballotlem1  28065  ballotlem2  28067  ballotlemfelz  28069  ballotlemfp1  28070  ballotlemfc0  28071  ballotlemfcc  28072  ballotlemfmpn  28073  ballotlemiex  28080  ballotlemsup  28083  ballotlemfg  28104  ballotlemfrc  28105  ballotlemfrceq  28107  ballotth  28116  plymulx0  28144  subfacf  28259  subfacp1lem1  28263  subfacp1lem3  28266  subfacp1lem5  28268  subfacp1lem6  28269  erdszelem2  28276  erdszelem10  28284  cvmliftlem15  28383  prodmolem3  28642  prodmolem2  28644  zprod  28646  risefallfac  28723  bpolylem  29387  mblfinlem2  29629  volsupnfl  29636  itg2addnclem2  29644  nnubfi  29846  nninfnub  29847  cntotbnd  29895  eldioph2lem1  30297  eldioph2lem2  30298  eldioph2  30299  pellexlem5  30373  pellex  30375  jm2.22  30541  jm2.23  30542  hbt  30683  phisum  30764  fzisoeu  31077  sumnnodd  31172  stoweidlem37  31337  stoweidlem44  31344  stoweidlem59  31359  fourierdlem37  31444  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511
  Copyright terms: Public domain W3C validator