MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Structured version   Unicode version

Theorem fzfi 11912
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7652 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2526 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 233 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 11582 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7614 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3680 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3495 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 11911 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 11020 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 11004 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3463 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 11909 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7642 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 195 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2765 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078    i^i cin 3436   (/)c0 3746   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   Oncon0 4828   `'ccnv 4948    |` cres 4951   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   omcom 6587   reccrdg 6976    ~~ cen 7418   Fincfn 7421   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    - cmin 9707   NN0cn0 10691   ZZ>=cuz 10973   ...cfz 11555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556
This theorem is referenced by:  fzfid  11913  fzofi  11914  fsequb  11915  fsequb2  11916  fseqsupcl  11917  seqf1o  11965  hashdom  12261  fzsdom2  12308  hashfzdm  12321  seqcoll2  12336  caubnd  12965  limsupgre  13078  fz1f1o  13306  summolem3  13310  summolem2  13312  zsum  13314  phicl2  13962  phibnd  13965  hashdvds  13969  phiprmpw  13970  eulerth  13977  pcfac  14080  prmreclem2  14097  prmreclem3  14098  prmreclem4  14099  prmreclem5  14100  prmrec  14102  1arith  14107  vdwlem6  14166  vdwlem10  14170  vdwlem12  14172  isstruct2  14302  gsumval3OLD  16504  gsumval3lem1  16505  gsumval3lem2  16506  gsumval3  16507  coe1mul2  17847  ovoliunlem2  21119  uniioombllem6  21202  itg0  21391  itgz  21392  coemullem  21851  aannenlem1  21928  aannenlem2  21929  birthdaylem1  22479  birthdaylem2  22480  wilthlem2  22541  wilthlem3  22542  ftalem5  22548  ppifi  22577  prmdvdsfi  22579  chtdif  22630  ppidif  22635  chp1  22639  ppiltx  22649  prmorcht  22650  mumul  22653  sqff1o  22654  ppiub  22677  pclogsum  22688  logexprlim  22698  lgseisenlem2  22823  axlowdimlem16  23356  wlks  23578  wlkres  23581  trls  23588  crcts  23661  cycls  23662  konigsberg  23761  esumpcvgval  26673  esumcvg  26681  oddpwdc  26882  eulerpartlemb  26896  ballotlem1  27014  ballotlem2  27016  ballotlemfelz  27018  ballotlemfp1  27019  ballotlemfc0  27020  ballotlemfcc  27021  ballotlemfmpn  27022  ballotlemiex  27029  ballotlemsup  27032  ballotlemfg  27053  ballotlemfrc  27054  ballotlemfrceq  27056  ballotth  27065  plymulx0  27093  subfacf  27208  subfacp1lem1  27212  subfacp1lem3  27215  subfacp1lem5  27217  subfacp1lem6  27218  erdszelem2  27225  erdszelem10  27233  cvmliftlem15  27332  prodmolem3  27591  prodmolem2  27593  zprod  27595  risefallfac  27672  bpolylem  28336  mblfinlem2  28578  volsupnfl  28585  itg2addnclem2  28593  nnubfi  28795  nninfnub  28796  cntotbnd  28844  eldioph2lem1  29247  eldioph2lem2  29248  eldioph2  29249  pellexlem5  29323  pellex  29325  jm2.22  29493  jm2.23  29494  hbt  29635  phisum  29716  stoweidlem37  29981  stoweidlem44  29988  stoweidlem59  30003  ssnn0fi  30895
  Copyright terms: Public domain W3C validator