MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Unicode version

Theorem fzfi 11266
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7295 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2464 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 225 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 11026 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7257 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3522 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3338 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 11265 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 10486 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 10473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 5977 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3306 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 11263 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7285 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 188 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2643 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    i^i cin 3279   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   omcom 4804   `'ccnv 4836    |` cres 4839   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  fzfid  11267  fzofi  11268  fsequb  11269  fsequb2  11270  fseqsupcl  11271  seqf1o  11319  hashdom  11608  fzsdom2  11648  seqcoll2  11668  caubnd  12117  limsupgre  12230  fz1f1o  12459  summolem3  12463  summolem2  12465  zsum  12467  phicl2  13112  phibnd  13115  hashdvds  13119  phiprmpw  13120  eulerth  13127  pcfac  13223  prmreclem2  13240  prmreclem3  13241  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  prmrec  13245  1arith  13250  vdwlem6  13309  vdwlem10  13313  vdwlem12  13315  isstruct2  13433  gsumval3  15469  coe1mul2  16617  ovoliunlem2  19352  uniioombllem6  19433  itg0  19624  itgz  19625  coemullem  20121  aannenlem1  20198  aannenlem2  20199  birthdaylem1  20743  birthdaylem2  20744  wilthlem2  20805  wilthlem3  20806  ftalem5  20812  ppifi  20841  prmdvdsfi  20843  chtdif  20894  ppidif  20899  chp1  20903  ppiltx  20913  prmorcht  20914  mumul  20917  sqff1o  20918  ppiub  20941  pclogsum  20952  logexprlim  20962  lgseisenlem2  21087  wlks  21479  wlkres  21482  trls  21489  crcts  21562  cycls  21563  konigsberg  21662  esumpcvgval  24421  esumcvg  24429  ballotlem1  24697  ballotlem2  24699  ballotlemfelz  24701  ballotlemfp1  24702  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  ballotlemfmpn  24705  ballotlemiex  24712  ballotlemsup  24715  ballotlemfg  24736  ballotlemfrc  24737  ballotlemfrceq  24739  ballotth  24748  subfacf  24814  subfacp1lem1  24818  subfacp1lem3  24821  subfacp1lem5  24823  subfacp1lem6  24824  erdszelem2  24831  erdszelem10  24839  cvmliftlem15  24938  prodmolem3  25212  prodmolem2  25214  zprod  25216  risefallfac  25292  axlowdimlem16  25800  bpolylem  25998  mblfinlem  26143  volsupnfl  26150  itg2addnclem2  26156  nnubfi  26344  nninfnub  26345  cntotbnd  26395  eldioph2lem1  26708  eldioph2lem2  26709  eldioph2  26710  pellexlem5  26786  pellex  26788  jm2.22  26956  jm2.23  26957  hbt  27202  phisum  27386  stoweidlem37  27653  stoweidlem44  27660  stoweidlem59  27675  hashfzdm  27997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator