Theorem fzfi 15786

Description: A finite interval of integers is finite.

Assertion

Ref	Expression
fzfi	|- (N e. (ZZ>=` M) -> (M...N) e. Fin)

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . 3 |- (m = M -> (M...m) = (M...M))
2	1	eleq1d 1963	. 2 |- (m = M -> ((M...m) e. Fin <-> (M...M) e. Fin))
3		opreq2 4890	. . 3 |- (m = n -> (M...m) = (M...n))
4	3	eleq1d 1963	. 2 |- (m = n -> ((M...m) e. Fin <-> (M...n) e. Fin))
5		opreq2 4890	. . 3 |- (m = (n + 1) -> (M...m) = (M...(n + 1)))
6	5	eleq1d 1963	. 2 |- (m = (n + 1) -> ((M...m) e. Fin <-> (M...(n + 1)) e. Fin))
7		opreq2 4890	. . 3 |- (m = N -> (M...m) = (M...N))
8	7	eleq1d 1963	. 2 |- (m = N -> ((M...m) e. Fin <-> (M...N) e. Fin))
9		elfz1eq 7662	. . . . . . 7 |- (m e. (M...M) -> m = M)
10		elsn 3058	. . . . . . 7 |- (m e. {M} <-> m = M)
11	9, 10	sylibr 217	. . . . . 6 |- (m e. (M...M) -> m e. {M})
12	11	a1i 8	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (m e. (M...M) -> m e. {M}))
13	12	ssrdv 2622	. . . 4 |- (M e. ZZ -> (M...M) C_ {M})
14		elfz3 7661	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> M e. (M...M))
15	14	snssd 3130	. . . 4 |- (M e. ZZ -> {M} C_ (M...M))
16	13, 15	eqssd 2633	. . 3 |- (M e. ZZ -> (M...M) = {M})
17		snfi 5491	. . 3 |- {M} e. Fin
18	16, 17	syl6eqel 1979	. 2 |- (M e. ZZ -> (M...M) e. Fin)
19		snfi 5491	. . 3 |- {(n + 1)} e. Fin
20		eluzel2 7593	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
21		eluzelz 7592	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` M) -> n e. ZZ)
22		zre 7348	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
23	20, 22	syl 12	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>=` M) -> M e. RR)
24		zre 7348	. . . . . . . 8 |- (n e. ZZ -> n e. RR)
25	21, 24	syl 12	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>=` M) -> n e. RR)
26		peano2re 6599	. . . . . . . 8 |- (n e. RR -> (n + 1) e. RR)
27	21, 24, 26	3syl 24	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (n + 1) e. RR)
28		eluzle 7594	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>=` M) -> M <_ n)
29		lep1 6990	. . . . . . . 8 |- (n e. RR -> n <_ (n + 1))
30	21, 24, 29	3syl 24	. . . . . . 7 |- (n e. (ZZ>=` M) -> n <_ (n + 1))
31	23, 25, 27, 28, 30	letrd 6696	. . . . . 6 |- (n e. (ZZ>=` M) -> M <_ (n + 1))
32		fzsuc 7678	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ (n + 1)) -> (M...(n + 1)) = ((M...n) u. {(n + 1)}))
33	20, 21, 31, 32	syl111anc 1100	. . . . 5 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (M...(n + 1)) = ((M...n) u. {(n + 1)}))
34	33	eleq1d 1963	. . . 4 |- (n e. (ZZ>=` M) -> ((M...(n + 1)) e. Fin <-> ((M...n) u. {(n + 1)}) e. Fin))
35		unfi 5644	. . . 4 |- (((M...n) e. Fin /\ {(n + 1)} e. Fin) -> ((M...n) u. {(n + 1)}) e. Fin)
36	34, 35	syl5bir 227	. . 3 |- (n e. (ZZ>=` M) -> (((M...n) e. Fin /\ {(n + 1)} e. Fin) -> (M...(n + 1)) e. Fin))
37	19, 36	mpan2i 763	. 2 |- (n e. (ZZ>=` M) -> ((M...n) e. Fin -> (M...(n + 1)) e. Fin))
38	2, 4, 6, 8, 18, 37	uzind4 7619	1 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (M...N) e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591  {csn 3044   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Fincfn 5426  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637

This theorem is referenced by:  fzfi2 15787  nnubfi 15818  nninfnub 15819  rrncms 16019  rrntotbnd 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638

Copyright terms: Public domain