Theorem m1expcl2 12744

Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expcl2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negex 10158	. . 3 ⊢ -1 ∈ V
2	1	prid1 4241	. 2 ⊢ -1 ∈ {-1, 1}
3		neg1ne0 11003	. 2 ⊢ -1 ≠ 0
4		neg1cn 11001	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-1cn 9873	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		prssi 4293	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ {-1, 1} ⊆ ℂ
8		elpri 4145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
9	7	sseli 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
10	9	mulm1d 10361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11		elpri 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12		negeq 10152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13		negneg1e1 11005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
14		1ex 9914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
15	14	prid2 4242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {-1, 1}
16	13, 15	eqeltri 2684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 ∈ {-1, 1}
17	12, 16	syl6eqel 2696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18		negeq 10152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
19	18, 2	syl6eqel 2696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
20	17, 19	jaoi 393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
21	11, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
22	10, 21	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
24	23	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
25	22, 24	syl5ibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
26	9	mulid2d 9937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
28	26, 27	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
30	29	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
31	28, 30	syl5ibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
32	25, 31	jaoi 393	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
33	8, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
34	33	imp 444	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36		ax-1ne0 9884	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
37		divneg2 10628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
38	5, 5, 36, 37	mp3an 1416	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
39		1div1e1 10596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
40	39	negeqi 10153	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
41	38, 40	eqtr3i 2634	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
42	41, 2	eqeltri 2684	. . . . . . 7 ⊢ (1 / -1) ∈ {-1, 1}
43	35, 42	syl6eqel 2696	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
45	39, 15	eqeltri 2684	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) ∈ {-1, 1}
46	44, 45	syl6eqel 2696	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
47	43, 46	jaoi 393	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
48	8, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
49	48	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
50	7, 34, 15, 49	expcl2lem 12734	. 2 ⊢ ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
51	2, 3, 50	mp3an12 1406	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℤcz 11254  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  m1expcl  12745  m1expeven  12769  m1expaddsub  17741  psgnran  17758  psgnghm  19745  gausslemma2dlem0i  24889  lgseisenlem2  24901  madjusmdetlem4  29224  lighneallem4  40065