MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzdisj 12282
Description: The first 𝑁 elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzdisj ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅

Proof of Theorem uzdisj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)))
21simprbi 479 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
3 eluzle 11576 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑘)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑘)
5 eluzel2 11568 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11573 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 zlem1lt 11306 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
106, 8, 9syl2anc 691 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁𝑘 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑘))
114, 10mpbid 221 . . . 4 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) < 𝑘)
121simplbi 475 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
13 elfzle2 12216 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
158zred 11358 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 peano2zm 11297 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
176, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1817zred 11358 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
1915, 18lenltd 10062 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘))
2014, 19mpbid 221 . . . 4 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑘)
2111, 20pm2.21dd 185 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ∅)
2221ssriv 3572 . 2 ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ∅
23 ss0 3926 . 2 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) ⊆ ∅ → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅)
2422, 23ax-mp 5 1 ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ (ℤ𝑁)) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  cin 3539  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198
This theorem is referenced by:  2prm  15243  uniioombllem4  23160  aacllem  42356
  Copyright terms: Public domain W3C validator