MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzdisj Structured version   Unicode version

Theorem uzdisj 11865
Description: The first  N elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzdisj  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  =  (/)

Proof of Theorem uzdisj
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3655 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  <->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
21simprbi 465 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
3 eluzle 11171 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  k )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  k )
5 eluzel2 11164 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
62, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzelz 11168 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
82, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ZZ )
9 zlem1lt 10988 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  <->  ( N  -  1 )  <  k ) )
106, 8, 9syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  <_  k  <->  ( N  - 
1 )  <  k
) )
114, 10mpbid 213 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  < 
k )
121simplbi 461 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
13 elfzle2 11801 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
1412, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
158zred 11040 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  RR )
16 peano2zm 10980 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
176, 16syl 17 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
1817zred 11040 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1915, 18lenltd 9780 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  <_  ( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  < 
k ) )
2014, 19mpbid 213 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  ( N  -  1 )  <  k )
2111, 20pm2.21dd 177 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  (/) )
2221ssriv 3474 . 2  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  C_  (/)
23 ss0 3799 . 2  |-  ( ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  C_  (/) 
->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  ( ZZ>=
`  N ) )  =  (/) )
2422, 23ax-mp 5 1  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9539    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783
This theorem is referenced by:  2prm  14611  uniioombllem4  22421  aacllem  39301
  Copyright terms: Public domain W3C validator