MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzdisj Structured version   Unicode version

Theorem uzdisj 11751
Description: The first  N elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzdisj  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  =  (/)

Proof of Theorem uzdisj
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3687 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  <->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
21simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
3 eluzle 11094 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  k )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  k )
5 eluzel2 11087 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
62, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzelz 11091 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
82, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ZZ )
9 zlem1lt 10914 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  <->  ( N  -  1 )  <  k ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  <_  k  <->  ( N  - 
1 )  <  k
) )
114, 10mpbid 210 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  < 
k )
121simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
13 elfzle2 11690 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
158zred 10966 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  RR )
16 peano2zm 10906 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
176, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
1817zred 10966 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1915, 18lenltd 9730 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  <_  ( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  < 
k ) )
2014, 19mpbid 210 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  ( N  -  1 )  <  k )
2111, 20pm2.21dd 174 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  (/) )
2221ssriv 3508 . 2  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  C_  (/)
23 ss0 3816 . 2  |-  ( ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  C_  (/) 
->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  ( ZZ>=
`  N ) )  =  (/) )
2422, 23ax-mp 5 1  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1c1 9493    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673
This theorem is referenced by:  2prm  14092  uniioombllem4  21758
  Copyright terms: Public domain W3C validator