MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzdisj Structured version   Unicode version

Theorem uzdisj 11647
Description: The first  N elements of an upper integer set are distinct from any later members. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
uzdisj  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  =  (/)

Proof of Theorem uzdisj
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3646 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  <->  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
) )
21simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
3 eluzle 10983 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  k )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  k )
5 eluzel2 10976 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
62, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzelz 10980 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
82, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ZZ )
9 zlem1lt 10806 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  k  <->  ( N  -  1 )  <  k ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  <_  k  <->  ( N  - 
1 )  <  k
) )
114, 10mpbid 210 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  < 
k )
121simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
13 elfzle2 11571 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  <_  ( N  -  1 ) )
158zred 10857 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  RR )
16 peano2zm 10798 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
176, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
1817zred 10857 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
1915, 18lenltd 9630 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  <_  ( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  < 
k ) )
2014, 19mpbid 210 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  ( N  -  1 )  <  k )
2111, 20pm2.21dd 174 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  (/) )
2221ssriv 3467 . 2  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  C_  (/)
23 ss0 3775 . 2  |-  ( ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N ) )  C_  (/) 
->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  ( ZZ>=
`  N ) )  =  (/) )
2422, 23ax-mp 5 1  |-  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  N
) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744   class class class wbr 4399   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   1c1 9393    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   ...cfz 11553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554
This theorem is referenced by:  2prm  13896  uniioombllem4  21198
  Copyright terms: Public domain W3C validator