MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumrecl 14312
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fsumrecl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9872 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3 readdcl 9898 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
43adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsumrecl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 0red 9920 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 14310 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wss 3540  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cc 9813  cr 9814   + caddc 9818  Σcsu 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265
This theorem is referenced by:  fsumless  14369  fsumle  14372  fsumlt  14373  fsumabs  14374  o1fsum  14386  isumltss  14419  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  mertenslem1  14455  rpnnen2lem10  14791  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  lebnumlem1  22568  csbren  22990  trirn  22991  rrxmet  22999  rrxdstprj1  23000  ovolfiniun  23076  ovoliunlem1  23077  ovolscalem1  23088  ovolicc2lem4  23095  volfiniun  23122  uniioombllem3a  23158  uniioombllem4  23160  i1fd  23254  itg1cl  23258  i1fadd  23268  i1fmul  23269  dvfsumge  23589  dvfsumabs  23590  dvfsumrlimf  23592  dvfsumlem2  23594  dvfsumlem3  23595  dvfsumlem4  23596  dvfsum2  23601  aaliou3lem5  23906  mtest  23962  mtestbdd  23963  abelthlem7  23996  abelthlem8  23997  log2ublem2  24474  log2ub  24476  birthdaylem3  24480  emcllem1  24522  emcllem2  24523  emcllem3  24524  harmoniclbnd  24535  harmonicubnd  24536  harmonicbnd4  24537  fsumharmonic  24538  ftalem1  24599  ftalem4  24602  ftalem5  24603  chtf  24634  chpf  24649  chpub  24745  logfaclbnd  24747  logexprlim  24750  chtppilimlem1  24962  vmadivsum  24971  vmadivsumb  24972  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem2  24979  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumlem3  24988  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0ff  24996  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0re  25002  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  rplogsum  25016  dirith2  25017  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  logsqvma2  25032  log2sumbnd  25033  selberglem2  25035  selberg  25037  selbergb  25038  selberg2b  25041  chpdifbndlem1  25042  logdivbnd  25045  selberg3lem1  25046  selberg3lem2  25047  selberg3  25048  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  pntrsumo1  25054  pntrsumbnd  25055  pntrsumbnd2  25056  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntsf  25062  pntsval2  25065  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemk  25095  pntlemo  25096  axsegconlem2  25598  ax5seglem3  25611  ax5seg  25618  esumpcvgval  29467  esumcvg  29475  sibfof  29729  knoppndvlem5  31677  knoppndvlem11  31683  knoppndvlem14  31686  mettrifi  32723  geomcau  32725  rrnmet  32798  rrndstprj1  32799  rrndstprj2  32800  refsumcn  38212  fsumge0cl  38640  fsumreclf  38643  stoweidlem11  38904  stoweidlem17  38910  stoweidlem20  38913  stoweidlem26  38919  stoweidlem30  38923  stoweidlem32  38925  stoweidlem38  38931  stoweidlem44  38937  stirlinglem12  38978  dirkeritg  38995  fourierdlem73  39072  fourierdlem83  39082  fourierdlem112  39111  etransclem23  39150  etransclem35  39162  etransclem48  39175  sge0rnre  39257  sge0cl  39274  sge0fsum  39280  sge0ltfirp  39293  sge0le  39300  sge0split  39302  sge0iunmptlemfi  39306  sge0iunmptlemre  39308  sge0xaddlem1  39326  sge0xaddlem2  39327  sge0seq  39339  omeiunltfirp  39409  carageniuncllem2  39412  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487  hoiqssbllem2  39513  fsummsndifre  40371  fsummmodsndifre  40373
  Copyright terms: Public domain W3C validator