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Theorem rrnmet 32798
 Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnmet (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
42, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5 elmapi 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
76ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
8 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
98, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10 elmapi 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 10337 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
1413resqcld 12897 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
151, 14fsumrecl 14312 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1613sqge0d 12898 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
171, 14, 16fsumge0 14368 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
1815, 17resqrtcld 14004 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
1918ralrimivva 2954 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
2120fmpt2 7126 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2219, 21sylib 207 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
233rrnval 32796 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
2423feq1d 5943 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2522, 24mpbird 246 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26 sqrt00 13852 . . . . . . . 8 ((Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
2715, 17, 26syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
281, 14, 16fsum00 14371 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
2927, 28bitrd 267 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3013recnd 9947 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
31 sqeq0 12789 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
337recnd 9947 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3412recnd 9947 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
3533, 34subeq0ad 10281 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3632, 35bitrd 267 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3736ralbidva 2968 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3829, 37bitrd 267 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
393rrnmval 32797 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
40393expb 1258 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
4140eqeq1d 2612 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0))
42 ffn 5958 . . . . . . 7 (𝑥:𝐼⟶ℝ → 𝑥 Fn 𝐼)
436, 42syl 17 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
44 ffn 5958 . . . . . . 7 (𝑦:𝐼⟶ℝ → 𝑦 Fn 𝐼)
4511, 44syl 17 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
46 eqfnfv 6219 . . . . . 6 ((𝑥 Fn 𝐼𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4743, 45, 46syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4838, 41, 473bitr4d 299 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
49 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
507adantlr 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
51 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
5251, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
53 elmapi 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
5554ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℝ)
5650, 55resubcld 10337 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
5712adantlr 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
5855, 57resubcld 10337 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
5949, 56, 58trirn 22991 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
6033adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6155recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
6234adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
6360, 61, 62npncand 10295 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))) = ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)))
6463oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
6564sumeq2dv 14281 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
6665fveq2d 6107 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
67 sqsubswap 12786 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6860, 61, 67syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6968sumeq2dv 14281 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
7069fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
7170oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7259, 66, 713brtr3d 4614 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7340adantr 480 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
743rrnmval 32797 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
75743adant3r 1315 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
763rrnmval 32797 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
77763adant3l 1314 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
7875, 77oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
79783expa 1257 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
8079an32s 842 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
8172, 73, 803brtr4d 4615 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))
8281ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))
8348, 82jca 553 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))
8483ralrimivva 2954 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))
85 ovex 6577 . . . 4 (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∈ V
863, 85eqeltri 2684 . . 3 𝑋 ∈ V
87 ismet 21938 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))))
8886, 87ax-mp 5 . 2 ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))))
8925, 84, 88sylanbrc 695 1 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  Σcsu 14264  Metcme 19553  ℝncrrn 32794 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-met 19561  df-rrn 32795 This theorem is referenced by:  rrncmslem  32801  rrncms  32802  rrnequiv  32804  rrntotbnd  32805  rrnheibor  32806  ismrer1  32807  reheibor  32808
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