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Theorem rrnmet 28572
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmet  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  Fin )
2 simprl 748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
42, 3syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  ( RR  ^m  I
) )
5 elmapi 7222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  I )  ->  x : I --> RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x : I --> RR )
76ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  RR )
8 simprr 749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
98, 3syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  ( RR  ^m  I
) )
10 elmapi 7222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  ^m  I )  ->  y : I --> RR )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y : I --> RR )
1211ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  RR )
137, 12resubcld 9764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
1413resqcld 12018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
151, 14fsumrecl 13195 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1613sqge0d 12019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
171, 14, 16fsumge0 13241 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
1815, 17resqrcld 12888 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
1918ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
20 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
2120fmpt2 6630 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
2219, 21sylib 196 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
233rrnval 28570 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
2423feq1d 5534 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( Rn `  I
) : ( X  X.  X ) --> RR  <->  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR ) )
2522, 24mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I ) : ( X  X.  X
) --> RR )
26 sqr00 12737 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
2715, 17, 26syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
281, 14, 16fsum00 13244 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sum_ k  e.  I  ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
2927, 28bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
3013recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC )
31 sqeq0 11914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
337recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  CC )
3412recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  CC )
3533, 34subeq0ad 9717 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3632, 35bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3736ralbidva 2721 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3829, 37bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
393rrnmval 28571 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( Rn
`  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
40393expb 1181 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
4140eqeq1d 2441 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
42 ffn 5547 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> RR  ->  x  Fn  I )
436, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  Fn  I )
44 ffn 5547 . . . . . . 7  |-  ( y : I --> RR  ->  y  Fn  I )
4511, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  Fn  I )
46 eqfnfv 5785 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  y  Fn  I )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
4743, 45, 46syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  I  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4838, 41, 473bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
49 simpll 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  I  e.  Fin )
507adantlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  RR )
51 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
5251, 3syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  ( RR  ^m  I
) )
53 elmapi 7222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( RR  ^m  I )  ->  z : I --> RR )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z : I --> RR )
5554ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  RR )
5650, 55resubcld 9764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x `  k )  -  ( z `  k ) )  e.  RR )
5712adantlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  RR )
5855, 57resubcld 9764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
z `  k )  -  ( y `  k ) )  e.  RR )
5949, 56, 58trirn 20741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) )  +  ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ) ^ 2 ) )  <_  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
6033adantlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  CC )
6155recnd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  CC )
6234adantlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  CC )
6360, 61, 62npncand 9731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) )  =  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) )
6463oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
6564sumeq2dv 13164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
6665fveq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) )  +  ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
67 sqsubswap 11911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x `  k
)  e.  CC  /\  ( z `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )
6860, 61, 67syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
6968sumeq2dv 13164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
7069fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7259, 66, 713brtr3d 4309 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  <_  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7340adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
743rrnmval 28571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z ( Rn
`  I ) x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
75743adant3r 1208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z ( Rn `  I ) x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) ) )
763rrnmval 28571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z ( Rn
`  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
77763adant3l 1207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
7875, 77oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
79783expa 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( z ( Rn `  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I ) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
8079an32s 795 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8172, 73, 803brtr4d 4310 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  <_  ( ( z ( Rn `  I
) x )  +  ( z ( Rn
`  I ) y ) ) )
8281ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( x
( Rn `  I
) y )  <_ 
( ( z ( Rn `  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I ) y ) ) )
8348, 82jca 529 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) )
8483ralrimivva 2798 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  ( ( z ( Rn `  I
) x )  +  ( z ( Rn
`  I ) y ) ) ) )
85 ovex 6105 . . . 4  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
863, 85eqeltri 2503 . . 3  |-  X  e. 
_V
87 ismet 19740 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  <->  ( ( Rn `  I ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2  |-  ( ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
)  <->  ( ( Rn
`  I ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) ) )
8925, 84, 88sylanbrc 657 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   _Vcvv 2962   class class class wbr 4280    X. cxp 4825    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082    ^m cmap 7202   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270    + caddc 9273    <_ cle 9407    - cmin 9583   2c2 10359   ^cexp 11849   sqrcsqr 12706   sum_csu 13147   Metcme 17646   Rncrrn 28568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-ico 11294  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-met 17655  df-rrn 28569
This theorem is referenced by:  rrncmslem  28575  rrncms  28576  rrnequiv  28578  rrntotbnd  28579  rrnheibor  28580  ismrer1  28581  reheibor  28582
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