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Theorem rrnmet 29928
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmet  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  Fin )
2 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
42, 3syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  ( RR  ^m  I
) )
5 elmapi 7437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  I )  ->  x : I --> RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x : I --> RR )
76ffvelrnda 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  RR )
8 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
98, 3syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  ( RR  ^m  I
) )
10 elmapi 7437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  ^m  I )  ->  y : I --> RR )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y : I --> RR )
1211ffvelrnda 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  RR )
137, 12resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
1413resqcld 12300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
151, 14fsumrecl 13515 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1613sqge0d 12301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
171, 14, 16fsumge0 13568 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
1815, 17resqrtcld 13208 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
1918ralrimivva 2885 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
20 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
2120fmpt2 6848 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
2219, 21sylib 196 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
233rrnval 29926 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
2423feq1d 5715 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( Rn `  I
) : ( X  X.  X ) --> RR  <->  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR ) )
2522, 24mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I ) : ( X  X.  X
) --> RR )
26 sqrt00 13056 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
2715, 17, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
281, 14, 16fsum00 13571 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sum_ k  e.  I  ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
2927, 28bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
3013recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC )
31 sqeq0 12196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
337recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  CC )
3412recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  CC )
3533, 34subeq0ad 9936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3632, 35bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3736ralbidva 2900 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3829, 37bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
393rrnmval 29927 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( Rn
`  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
40393expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
4140eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
42 ffn 5729 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> RR  ->  x  Fn  I )
436, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  Fn  I )
44 ffn 5729 . . . . . . 7  |-  ( y : I --> RR  ->  y  Fn  I )
4511, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  Fn  I )
46 eqfnfv 5973 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  y  Fn  I )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
4743, 45, 46syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  I  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4838, 41, 473bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
49 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  I  e.  Fin )
507adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  RR )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
5251, 3syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  ( RR  ^m  I
) )
53 elmapi 7437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( RR  ^m  I )  ->  z : I --> RR )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z : I --> RR )
5554ffvelrnda 6019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  RR )
5650, 55resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x `  k )  -  ( z `  k ) )  e.  RR )
5712adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  RR )
5855, 57resubcld 9983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
z `  k )  -  ( y `  k ) )  e.  RR )
5949, 56, 58trirn 21562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) )  +  ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ) ^ 2 ) )  <_  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
6033adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  CC )
6155recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  CC )
6234adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  CC )
6360, 61, 62npncand 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) )  =  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) )
6463oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
6564sumeq2dv 13484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
6665fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) )  +  ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
67 sqsubswap 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x `  k
)  e.  CC  /\  ( z `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )
6860, 61, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
6968sumeq2dv 13484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
7069fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7259, 66, 713brtr3d 4476 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  <_  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7340adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
743rrnmval 29927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z ( Rn
`  I ) x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
75743adant3r 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z ( Rn `  I ) x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) ) )
763rrnmval 29927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z ( Rn
`  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
77763adant3l 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
7875, 77oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
79783expa 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( z ( Rn `  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I ) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
8079an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8172, 73, 803brtr4d 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  <_  ( ( z ( Rn `  I
) x )  +  ( z ( Rn
`  I ) y ) ) )
8281ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( x
( Rn `  I
) y )  <_ 
( ( z ( Rn `  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I ) y ) ) )
8348, 82jca 532 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) )
8483ralrimivva 2885 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  ( ( z ( Rn `  I
) x )  +  ( z ( Rn
`  I ) y ) ) ) )
85 ovex 6307 . . . 4  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
863, 85eqeltri 2551 . . 3  |-  X  e. 
_V
87 ismet 20561 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  <->  ( ( Rn `  I ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2  |-  ( ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
)  <->  ( ( Rn
`  I ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) ) )
8925, 84, 88sylanbrc 664 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    X. cxp 4997    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   2c2 10581   ^cexp 12130   sqrcsqrt 13025   sum_csu 13467   Metcme 18175   Rncrrn 29924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-met 18184  df-rrn 29925
This theorem is referenced by:  rrncmslem  29931  rrncms  29932  rrnequiv  29934  rrntotbnd  29935  rrnheibor  29936  ismrer1  29937  reheibor  29938
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