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Theorem rrnmet 28731
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrnmet  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables  k  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  I  e.  Fin )
2 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  X )
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
42, 3syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  e.  ( RR  ^m  I
) )
5 elmapi 7237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( RR  ^m  I )  ->  x : I --> RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x : I --> RR )
76ffvelrnda 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  RR )
8 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  X )
98, 3syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  e.  ( RR  ^m  I
) )
10 elmapi 7237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( RR  ^m  I )  ->  y : I --> RR )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y : I --> RR )
1211ffvelrnda 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  RR )
137, 12resubcld 9779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  RR )
1413resqcld 12037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  e.  RR )
151, 14fsumrecl 13214 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1613sqge0d 12038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  0  <_  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
171, 14, 16fsumge0 13261 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
1815, 17resqrcld 12907 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
1918ralrimivva 2811 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr ` 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
20 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
2120fmpt2 6644 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  e.  RR  <->  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
2219, 21sylib 196 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR )
233rrnval 28729 . . . 4  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
2423feq1d 5549 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( Rn `  I
) : ( X  X.  X ) --> RR  <->  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) : ( X  X.  X ) --> RR ) )
2522, 24mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I ) : ( X  X.  X
) --> RR )
26 sqr00 12756 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
2715, 17, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
281, 14, 16fsum00 13264 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( sum_ k  e.  I  ( ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 )  =  0 ) )
2927, 28bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 )  =  0 ) )
3013recnd 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC )
31 sqeq0 11933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) )  =  0 ) )
337recnd 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
x `  k )  e.  CC )
3412recnd 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
y `  k )  e.  CC )
3533, 34subeq0ad 9732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
)  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3632, 35bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  k  e.  I )  ->  (
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3736ralbidva 2734 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  ( A. k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
3829, 37bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) )  =  0  <->  A. k  e.  I  (
x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
393rrnmval 28730 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x ( Rn
`  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
40393expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
4140eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  =  0 ) )
42 ffn 5562 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> RR  ->  x  Fn  I )
436, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  x  Fn  I )
44 ffn 5562 . . . . . . 7  |-  ( y : I --> RR  ->  y  Fn  I )
4511, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  y  Fn  I )
46 eqfnfv 5800 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  y  Fn  I )  ->  ( x  =  y  <->  A. k  e.  I 
( x `  k
)  =  ( y `
 k ) ) )
4743, 45, 46syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
x  =  y  <->  A. k  e.  I  ( x `  k )  =  ( y `  k ) ) )
4838, 41, 473bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  x  =  y ) )
49 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  I  e.  Fin )
507adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  RR )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
5251, 3syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  ( RR  ^m  I
) )
53 elmapi 7237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( RR  ^m  I )  ->  z : I --> RR )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z : I --> RR )
5554ffvelrnda 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  RR )
5650, 55resubcld 9779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
x `  k )  -  ( z `  k ) )  e.  RR )
5712adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  RR )
5855, 57resubcld 9779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
z `  k )  -  ( y `  k ) )  e.  RR )
5949, 56, 58trirn 20902 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) )  +  ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ) ^ 2 ) )  <_  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
6033adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( x `  k )  e.  CC )
6155recnd 9415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( z `  k )  e.  CC )
6234adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( y `  k )  e.  CC )
6360, 61, 62npncand 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) )  +  ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) )  =  ( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) )
6463oveq1d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
6564sumeq2dv 13183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
)  +  ( ( z `  k )  -  ( y `  k ) ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )
6665fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) )  +  ( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
67 sqsubswap 11930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x `  k
)  e.  CC  /\  ( z `  k
)  e.  CC )  ->  ( ( ( x `  k )  -  ( z `  k ) ) ^
2 )  =  ( ( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )
6860, 61, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I  e. 
Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  z  e.  X )  /\  k  e.  I
)  ->  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
6968sumeq2dv 13183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  sum_ k  e.  I  ( (
( x `  k
)  -  ( z `
 k ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )
7069fveq2d 5698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( z `  k
) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
z `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7259, 66, 713brtr3d 4324 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( x `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) )  <_  (
( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) ) )
7340adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( x `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
743rrnmval 28730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z ( Rn
`  I ) x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) ) )
75743adant3r 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z ( Rn `  I ) x )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
x `  k )
) ^ 2 ) ) )
763rrnmval 28730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z ( Rn
`  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( y `  k
) ) ^ 2 ) ) )
77763adant3l 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
z ( Rn `  I ) y )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) )
7875, 77oveq12d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
79783expa 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  z  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( z ( Rn `  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I ) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( x `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  (
( ( z `  k )  -  (
y `  k )
) ^ 2 ) ) ) )
8079an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  I 
( ( ( z `
 k )  -  ( x `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  I  ( (
( z `  k
)  -  ( y `
 k ) ) ^ 2 ) ) ) )
8172, 73, 803brtr4d 4325 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
x ( Rn `  I ) y )  <_  ( ( z ( Rn `  I
) x )  +  ( z ( Rn
`  I ) y ) ) )
8281ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( x
( Rn `  I
) y )  <_ 
( ( z ( Rn `  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I ) y ) ) )
8348, 82jca 532 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) )
8483ralrimivva 2811 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x ( Rn
`  I ) y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  ( ( z ( Rn `  I
) x )  +  ( z ( Rn
`  I ) y ) ) ) )
85 ovex 6119 . . . 4  |-  ( RR 
^m  I )  e. 
_V
863, 85eqeltri 2513 . . 3  |-  X  e. 
_V
87 ismet 19901 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( Rn `  I
)  e.  ( Met `  X )  <->  ( ( Rn `  I ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) ) ) )
8886, 87ax-mp 5 . 2  |-  ( ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
)  <->  ( ( Rn
`  I ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x ( Rn `  I ) y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x ( Rn `  I ) y )  <_  (
( z ( Rn
`  I ) x )  +  ( z ( Rn `  I
) y ) ) ) ) )
8925, 84, 88sylanbrc 664 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   _Vcvv 2975   class class class wbr 4295    X. cxp 4841    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    e. cmpt2 6096    ^m cmap 7217   Fincfn 7313   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285    + caddc 9288    <_ cle 9422    - cmin 9598   2c2 10374   ^cexp 11868   sqrcsqr 12725   sum_csu 13166   Metcme 17805   Rncrrn 28727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-ico 11309  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-met 17814  df-rrn 28728
This theorem is referenced by:  rrncmslem  28734  rrncms  28735  rrnequiv  28737  rrntotbnd  28738  rrnheibor  28739  ismrer1  28740  reheibor  28741
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