MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqfnfv 6219
Description: Equality of functions is determined by their values. Special case of Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 28 (with domain equality omitted). (Contributed by NM, 3-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eqfnfv ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Proof of Theorem eqfnfv
StepHypRef Expression
1 dffn5 6151 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
2 dffn5 6151 . . 3 (𝐺 Fn 𝐴𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥)))
3 eqeq12 2623 . . 3 ((𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ∧ 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥))))
41, 2, 3syl2anb 495 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥))))
5 fvex 6113 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
65rgenw 2908 . . 3 𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ V
7 mpteqb 6207 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ V → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
86, 7ax-mp 5 . 2 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
94, 8syl6bb 275 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  cmpt 4643   Fn wfn 5799  cfv 5804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-fv 5812
This theorem is referenced by:  eqfnfv2  6220  eqfnfvd  6222  eqfnfv2f  6223  fvreseq0  6225  fnmptfvd  6228  fndmdifeq0  6231  fneqeql  6233  fnnfpeq0  6349  fconst2g  6373  cocan1  6446  cocan2  6447  weniso  6504  fnsuppres  7209  tfr3  7382  ixpfi2  8147  fipreima  8155  fseqenlem1  8730  fpwwe2lem8  9338  ofsubeq0  10894  ser0f  12716  hashgval2  13028  hashf1lem1  13096  prodf1f  14463  efcvgfsum  14655  prmreclem2  15459  1arithlem4  15468  1arith  15469  isgrpinv  17295  dprdf11  18245  psrbagconf1o  19195  islindf4  19996  pthaus  21251  xkohaus  21266  cnmpt11  21276  cnmpt21  21284  prdsxmetlem  21983  rrxmet  22999  rolle  23557  tdeglem4  23624  resinf1o  24086  dchrelbas2  24762  dchreq  24783  eqeefv  25583  axlowdimlem14  25635  nmlno0lem  27032  phoeqi  27097  occllem  27546  dfiop2  27996  hoeq  28003  ho01i  28071  hoeq1  28073  kbpj  28199  nmlnop0iALT  28238  lnopco0i  28247  nlelchi  28304  rnbra  28350  kbass5  28363  hmopidmchi  28394  hmopidmpji  28395  pjssdif2i  28417  pjinvari  28434  bnj1542  30181  bnj580  30237  subfacp1lem3  30418  subfacp1lem5  30420  mrsubff1  30665  msubff1  30707  faclimlem1  30882  fprb  30916  rdgprc  30944  broucube  32613  cocanfo  32682  eqfnun  32686  sdclem2  32708  rrnmet  32798  rrnequiv  32804  ltrnid  34439  ltrneq2  34452  tendoeq1  35070  pw2f1ocnv  36622  caofcan  37544  addrcom  37700  fsneq  38393  dvnprodlem1  38836
  Copyright terms: Public domain W3C validator