MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqfnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqfnfv 6204
Description: Equality of functions is determined by their values. Special case of Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 28 (with domain equality omitted). (Contributed by NM, 3-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eqfnfv ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Proof of Theorem eqfnfv
StepHypRef Expression
1 dffn5 6136 . . 3 (𝐹 Fn 𝐴𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
2 dffn5 6136 . . 3 (𝐺 Fn 𝐴𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥)))
3 eqeq12 2622 . . 3 ((𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ∧ 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥))))
41, 2, 3syl2anb 494 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥))))
5 fvex 6098 . . . 4 (𝐹𝑥) ∈ V
65rgenw 2907 . . 3 𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ V
7 mpteqb 6192 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ V → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
86, 7ax-mp 5 . 2 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐺𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
94, 8syl6bb 274 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  cmpt 4637   Fn wfn 5785  cfv 5790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-fv 5798
This theorem is referenced by:  eqfnfv2  6205  eqfnfvd  6207  eqfnfv2f  6208  fvreseq0  6210  fnmptfvd  6213  fndmdifeq0  6216  fneqeql  6218  fnnfpeq0  6327  fconst2g  6351  cocan1  6424  cocan2  6425  weniso  6482  fnsuppres  7186  tfr3  7359  ixpfi2  8124  fipreima  8132  fseqenlem1  8707  fpwwe2lem8  9315  ofsubeq0  10864  ser0f  12671  hashgval2  12980  hashf1lem1  13048  prodf1f  14409  efcvgfsum  14601  prmreclem2  15405  1arithlem4  15414  1arith  15415  isgrpinv  17241  dprdf11  18191  psrbagconf1o  19141  islindf4  19938  pthaus  21193  xkohaus  21208  cnmpt11  21218  cnmpt21  21226  prdsxmetlem  21924  rrxmet  22916  rolle  23474  tdeglem4  23541  resinf1o  24003  dchrelbas2  24679  dchreq  24700  eqeefv  25501  axlowdimlem14  25553  nmlno0lem  26838  phoeqi  26903  occllem  27352  dfiop2  27802  hoeq  27809  ho01i  27877  hoeq1  27879  kbpj  28005  nmlnop0iALT  28044  lnopco0i  28053  nlelchi  28110  rnbra  28156  kbass5  28169  hmopidmchi  28200  hmopidmpji  28201  pjssdif2i  28223  pjinvari  28240  bnj1542  29987  bnj580  30043  subfacp1lem3  30224  subfacp1lem5  30226  mrsubff1  30471  msubff1  30513  faclimlem1  30688  fprb  30722  rdgprc  30750  broucube  32416  cocanfo  32485  eqfnun  32489  sdclem2  32511  rrnmet  32601  rrnequiv  32607  ltrnid  34242  ltrneq2  34255  tendoeq1  34873  pw2f1ocnv  36425  caofcan  37347  addrcom  37503  fsneq  38196  dvnprodlem1  38640
  Copyright terms: Public domain W3C validator