Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnheibor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnheibor 32806
 Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnheibor.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
rrnheibor.2 𝑀 = ((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
rrnheibor.3 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
rrnheibor.4 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrnheibor ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem rrnheibor
StepHypRef Expression
1 rrnheibor.1 . . . . . 6 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
21rrnmet 32798 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
3 rrnheibor.2 . . . . . 6 𝑀 = ((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
4 metres2 21978 . . . . . 6 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
53, 4syl5eqel 2692 . . . . 5 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
62, 5sylan 487 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
76biantrurd 528 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp)))
8 rrnheibor.3 . . . 4 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
98heibor 32790 . . 3 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp) ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
107, 9syl6bb 275 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌))))
113eleq1i 2679 . . . 4 (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
121rrncms 32802 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → (ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
14 rrnheibor.4 . . . . . 6 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
1514cmetss 22921 . . . . 5 ((ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) → (((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
1613, 15syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → (((ℝn𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
1711, 16syl5bb 271 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
181, 3rrntotbnd 32805 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
1918adantr 480 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
2017, 19anbi12d 743 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → ((𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)) ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
2110, 20bitrd 267 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814  Metcme 19553  MetOpencmopn 19557  Clsdccld 20630  Compccmp 20999  CMetcms 22860  TotBndctotbnd 32735  Bndcbnd 32736  ℝncrrn 32794 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-gz 15472  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-prds 15931  df-pws 15933  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lm 20843  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-totbnd 32737  df-bnd 32748  df-rrn 32795 This theorem is referenced by:  reheibor  32808
 Copyright terms: Public domain W3C validator