Theorem rrnheibor 16023

Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded.

Hypotheses

Ref	Expression
rrnheibor.1	|- X = (RR ^m (1...N))
rrnheibor.2	|- M = ((RRn` N) |` (Y X. Y))
rrnheibor.3	|- T = (Open` M)
rrnheibor.4	|- U = (Open` (RRn` N))

Assertion

Ref	Expression
rrnheibor	|- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> (T e. Comp <-> (Y e. (Clsd` U) /\ M e. Bnd)))

Proof of Theorem rrnheibor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnmet 16016	. . . . 5 |- (N e. NN -> (RRn` N) e. Met)
2		metres 9100	. . . . . 6 |- ((RRn` N) e. Met -> ((RRn` N) |` (Y X. Y)) e. Met)
3		rrnheibor.2	. . . . . 6 |- M = ((RRn` N) |` (Y X. Y))
4	2, 3	syl5eqel 1975	. . . . 5 |- ((RRn` N) e. Met -> M e. Met)
5	1, 4	syl 12	. . . 4 |- (N e. NN -> M e. Met)
6	5	adantr 425	. . 3 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> M e. Met)
7		rrnheibor.3	. . . 4 |- T = (Open` M)
8		eqid 1884	. . . 4 |- dom dom M = dom dom M
9	7, 8	heibor 15997	. . 3 |- (M e. Met -> (T e. Comp <-> (M e. CMet /\ M e. TotBnd)))
10	6, 9	syl 12	. 2 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> (T e. Comp <-> (M e. CMet /\ M e. TotBnd)))
11		rrncms 16019	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (RRn` N) e. CMet)
12	11	adantr 425	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> (RRn` N) e. CMet)
13		rrndm 16015	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> dom dom (RRn` N) = (RR ^m (1...N)))
14		rrnheibor.1	. . . . . . . 8 |- X = (RR ^m (1...N))
15	13, 14	syl6reqr 1947	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> X = dom dom (RRn` N))
16	15	sseq2d 2645	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (Y C_ X <-> Y C_ dom dom (RRn` N)))
17	16	biimpa 460	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> Y C_ dom dom (RRn` N))
18		eqid 1884	. . . . . 6 |- dom dom (RRn` N) = dom dom (RRn` N)
19		rrnheibor.4	. . . . . 6 |- U = (Open` (RRn` N))
20	18, 19	cmsss 9275	. . . . 5 |- (((RRn` N) e. CMet /\ Y C_ dom dom (RRn` N)) -> (((RRn` N) |` (Y X. Y)) e. CMet <-> Y e. (Clsd` U)))
21	12, 17, 20	syl11anc 524	. . . 4 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> (((RRn` N) |` (Y X. Y)) e. CMet <-> Y e. (Clsd` U)))
22	3	eleq1i 1960	. . . 4 |- (M e. CMet <-> ((RRn` N) |` (Y X. Y)) e. CMet)
23	21, 22	syl5bb 591	. . 3 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> (M e. CMet <-> Y e. (Clsd` U)))
24	14, 3	rrntotbnd 16022	. . 3 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> (M e. TotBnd <-> M e. Bnd))
25	23, 24	anbi12d 690	. 2 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> ((M e. CMet /\ M e. TotBnd) <-> (Y e. (Clsd` U) /\ M e. Bnd)))
26	10, 25	bitrd 587	1 |- ((N e. NN /\ Y C_ X) -> (T e. Comp <-> (Y e. (Clsd` U) /\ M e. Bnd)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  RRcr 6385  1c1 6387  NNcn 6449  ...cfz 7637  Clsdccld 8936  Metcme 9066  Opencopn 9069  CMetcms 9199  Compccomp 10328  TotBndctotbnd 15930  Bndcbnd 15931  RRncrrn 16011

This theorem is referenced by:  reheibor 16025

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-iso 4015  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-lp 9017  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202  df-comp 10329  df-totbnd 15932  df-bnd 15938  df-rrn 16012

Copyright terms: Public domain