Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrncms 32802
 Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrncms.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrncms (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem rrncms
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrncms.1 . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
2 eqid 2610 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3 eqid 2610 . . . . 5 (MetOpen‘(ℝn𝐼)) = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
4 simpll 786 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
5 simplr 788 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
6 simpr 476 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
7 eqid 2610 . . . . 5 (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑡)‘𝑚)))) = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑡)‘𝑚))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrncmslem 32801 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼))))
98ex 449 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼)))))
109ralrimiva 2949 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼)))))
11 nnuz 11599 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 11285 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℤ)
131rrnmet 32798 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
1411, 3, 12, 13iscmet3 22899 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼))(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(ℝn𝐼))))))
1510, 14mpbird 246 1 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℝcr 9814  1c1 9816   − cmin 10145  ℕcn 10897  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  MetOpencmopn 19557  ⇝𝑡clm 20840  Caucca 22859  CMetcms 22860  ℝncrrn 32794 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-lm 20843  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-rrn 32795 This theorem is referenced by:  rrnheibor  32806
 Copyright terms: Public domain W3C validator