Theorem rrncms 16019

Description: Euclidean space is complete.

Assertion

Ref	Expression
rrncms	|- (N e. NN -> (RRn` N) e. CMet)

Proof of Theorem rrncms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- dom dom (RRn` N) = dom dom (RRn` N)
2	1	iscms2 9272	. 2 |- ((RRn` N) e. CMet <-> ((RRn` N) e. Met /\ A.f e. (Cau` (RRn` N))(f:NN-->dom dom (RRn` N) -> E.x e. dom dom (RRn` N)f(~~>m` (RRn` N))x)))
3		rrnmet 16016	. 2 |- (N e. NN -> (RRn` N) e. Met)
4		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ j e. NN) -> (f` j) e. dom dom (RRn` N))
5	4	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> (f` j) e. dom dom (RRn` N))
6		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ k e. NN) -> (f` k) e. dom dom (RRn` N))
7	6	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> (f` k) e. dom dom (RRn` N))
8	5, 7	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)))
9	8	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N)) /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)))
10	9	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)))
11	10	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)))
12		rrndm 16015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (N e. NN -> dom dom (RRn` N) = (RR ^m (1...N)))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((N e. NN /\ n e. (1...N)) -> dom dom (RRn` N) = (RR ^m (1...N)))
14	13	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((N e. NN /\ n e. (1...N)) -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) <-> (f` j) e. (RR ^m (1...N))))
15	13	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((N e. NN /\ n e. (1...N)) -> ((f` k) e. dom dom (RRn` N) <-> (f` k) e. (RR ^m (1...N))))
16	14, 15	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((N e. NN /\ n e. (1...N)) -> (((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)) <-> ((f` j) e. (RR ^m (1...N)) /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)))))
17	16	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((N e. NN /\ n e. (1...N)) -> (((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)) -> ((f` j) e. (RR ^m (1...N)) /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)))))
18	17	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> ((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ ((f` j) e. (RR ^m (1...N)) /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)))))
19		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
20		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (RR ^m (1...N)) = (RR ^m (1...N))
21	19, 20	rrndstprj1 16017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ ((f` j) e. (RR ^m (1...N)) /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)))) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) <_ ((f` j)(RRn` N)(f` k)))
22	18, 21	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) <_ ((f` j)(RRn` N)(f` k)))
23	22	adantlrl 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) <_ ((f` j)(RRn` N)(f` k)))
24	23	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) <_ ((f` j)(RRn` N)(f` k)))
25	12	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (N e. NN -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) <-> (f` j) e. (RR ^m (1...N))))
26		reex 6465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- RR e. _V
27		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (1...N) e. _V
28	26, 27	elmap 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((f` j) e. (RR ^m (1...N)) <-> (f` j):(1...N)-->RR)
29	25, 28	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (N e. NN -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) <-> (f` j):(1...N)-->RR))
30	29	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (N e. NN -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) -> (f` j):(1...N)-->RR))
31		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((f` j):(1...N)-->RR /\ n e. (1...N)) -> ((f` j)` n) e. RR)
32	31	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (n e. (1...N) -> ((f` j):(1...N)-->RR -> ((f` j)` n) e. RR))
33	30, 32	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((N e. NN /\ n e. (1...N)) -> ((f` j) e. dom dom (RRn` N) -> ((f` j)` n) e. RR))
34	33	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ (f` j) e. dom dom (RRn` N)) -> ((f` j)` n) e. RR)
35	34	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> ((f` j)` n) e. RR)
36	12	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (N e. NN -> ((f` k) e. dom dom (RRn` N) <-> (f` k) e. (RR ^m (1...N))))
37	26, 27	elmap 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((f` k) e. (RR ^m (1...N)) <-> (f` k):(1...N)-->RR)
38	36, 37	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (N e. NN -> ((f` k) e. dom dom (RRn` N) <-> (f` k):(1...N)-->RR))
39	38	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (N e. NN -> ((f` k) e. dom dom (RRn` N) -> (f` k):(1...N)-->RR))
40		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((f` k):(1...N)-->RR /\ n e. (1...N)) -> ((f` k)` n) e. RR)
41	40	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (n e. (1...N) -> ((f` k):(1...N)-->RR -> ((f` k)` n) e. RR))
42	39, 41	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((N e. NN /\ n e. (1...N)) -> ((f` k) e. dom dom (RRn` N) -> ((f` k)` n) e. RR))
43	42	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)) -> ((f` k)` n) e. RR)
44	43	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> ((f` k)` n) e. RR)
45	19	remet 9188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met
46	19	remetba 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- RR = dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
47	46	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ ((f` j)` n) e. RR /\ ((f` k)` n) e. RR) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) e. RR)
48	45, 47	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((f` j)` n) e. RR /\ ((f` k)` n) e. RR) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) e. RR)
49	35, 44, 48	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) e. RR)
50	49	adantlrl 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) e. RR)
51	50	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) e. RR)
52	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((RRn` N) e. Met /\ (f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)) -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) e. RR)
53	52	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((RRn` N) e. Met /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) e. RR)
54	53, 3	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((N e. NN /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) e. RR)
55	54	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) e. RR)
56	55	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) e. RR)
57		rpre 7236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (r e. RR+ -> r e. RR)
58	57	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> r e. RR)
59		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) e. RR /\ ((f` j)(RRn` N)(f` k)) e. RR /\ r e. RR) -> (((((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) <_ ((f` j)(RRn` N)(f` k)) /\ ((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) < r))
60	51, 56, 58, 59	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (((((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) <_ ((f` j)(RRn` N)(f` k)) /\ ((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r) -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) < r))
61	24, 60	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ ((f` j) e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) < r))
62	11, 61	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ (j e. NN /\ k e. NN)) -> (((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) < r))
63	62	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r -> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) < r))
64		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (m = j -> (f` m) = (f` j))
65	64	fveq1d 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (m = j -> ((f` m)` n) = ((f` j)` n))
66		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} = {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}
67		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((f` j)` n) e. _V
68	65, 66, 67	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (j e. NN -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j) = ((f` j)` n))
69	68	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j) = ((f` j)` n))
70		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (m = k -> (f` m) = (f` k))
71	70	fveq1d 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (m = k -> ((f` m)` n) = ((f` k)` n))
72		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((f` k)` n) e. _V
73	71, 66, 72	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (k e. NN -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k) = ((f` k)` n))
74	73	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k) = ((f` k)` n))
75	69, 74	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) = (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)))
76	75	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) < r <-> (((f` j)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))((f` k)` n)) < r))
77	63, 76	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> (((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r -> (({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) < r))
78	77	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ j e. NN) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r) -> (j <_ k -> (({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) < r)))
79	78	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) /\ j e. NN) -> (A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r) -> A.k e. NN (j <_ k -> (({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) < r)))
80	79	reximdva 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ r e. RR+) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) < r)))
81	80	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> (A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r) -> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) < r)))
82	3	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> (RRn` N) e. Met)
83		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> f:NN-->dom dom (RRn` N))
84	1	iscau5 9219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((RRn` N) e. Met /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (f e. (Cau` (RRn` N)) <-> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r)))
85	82, 83, 84	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> (f e. (Cau` (RRn` N)) <-> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` j)(RRn` N)(f` k)) < r)))
86	46	iscau5 9219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}:NN-->RR) -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) <-> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) < r)))
87		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((f` m):(1...N)-->RR /\ n e. (1...N)) -> ((f` m)` n) e. RR)
88	12	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (N e. NN -> ((f` m) e. dom dom (RRn` N) <-> (f` m) e. (RR ^m (1...N))))
89	26, 27	elmap 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((f` m) e. (RR ^m (1...N)) <-> (f` m):(1...N)-->RR)
90	88, 89	syl6rbb 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (N e. NN -> ((f` m):(1...N)-->RR <-> (f` m) e. dom dom (RRn` N)))
91	90	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((N e. NN /\ (f` m) e. dom dom (RRn` N)) -> (f` m):(1...N)-->RR)
92	87, 91	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((N e. NN /\ (f` m) e. dom dom (RRn` N)) /\ n e. (1...N)) -> ((f` m)` n) e. RR)
93	92	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ (f` m) e. dom dom (RRn` N)) -> ((f` m)` n) e. RR)
94		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ m e. NN) -> (f` m) e. dom dom (RRn` N))
95	93, 94	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ m e. NN)) -> ((f` m)` n) e. RR)
96	95	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ m e. NN) -> ((f` m)` n) e. RR)
97	96	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((N e. NN /\ n e. (1...N)) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> A.m e. NN ((f` m)` n) e. RR)
98	97	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. NN /\ (n e. (1...N) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N))) -> A.m e. NN ((f` m)` n) e. RR)
99	98	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> A.m e. NN ((f` m)` n) e. RR)
100	66	fopab2 4796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.m e. NN ((f` m)` n) e. RR <-> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}:NN-->RR)
101	99, 100	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}:NN-->RR)
102	86, 45, 101	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) <-> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` j)((abs o. - ) |` (RR X. RR))({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k)) < r)))
103	81, 85, 102	3imtr4d 602	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> (f e. (Cau` (RRn` N)) -> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))))
104	103	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- (((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) /\ f e. (Cau` (RRn` N))) -> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))
105	104	an1rs 547	. . . . . . . . . 10 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ n e. (1...N))) -> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))
106	105	anassrs 489	. . . . . . . . 9 |- ((((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ n e. (1...N)) -> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))))
107	46	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . 12 |- dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = RR
108	107	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (g = {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} -> dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = RR)
109		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (g = {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} -> (g(~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y <-> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y))
110	108, 109	rexeqbidv 2275	. . . . . . . . . 10 |- (g = {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} -> (E.y e. dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))g(~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y <-> E.y e. RR {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y))
111		recms 16010	. . . . . . . . . . . 12 |- ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. CMet
112		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) = dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
113	112	iscms 9224	. . . . . . . . . . . 12 |- (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. CMet <-> (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ A.g e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))E.y e. dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))g(~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y))
114	111, 113	mpbi 206	. . . . . . . . . . 11 |- (((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ A.g e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))E.y e. dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))g(~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y)
115	114	simpri 351	. . . . . . . . . 10 |- A.g e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))E.y e. dom dom ((abs o. - ) |` (RR X. RR))g(~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y
116	110, 115	vtoclri 2360	. . . . . . . . 9 |- ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} e. (Cau` ((abs o. - ) |` (RR X. RR))) -> E.y e. RR {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y)
117	106, 116	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ n e. (1...N)) -> E.y e. RR {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y)
118	117	r19.21aiva 2176	. . . . . . 7 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> A.n e. (1...N)E.y e. RR {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y)
119		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (y = (x` n) -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y <-> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n)))
120	27, 119	ac6s 5918	. . . . . . 7 |- (A.n e. (1...N)E.y e. RR {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))y -> E.x(x:(1...N)-->RR /\ A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n)))
121	118, 120	syl 12	. . . . . 6 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> E.x(x:(1...N)-->RR /\ A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n)))
122	45	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ n e. (1...N)) -> ((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met)
123		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x:(1...N)-->RR /\ n e. (1...N)) -> (x` n) e. RR)
124	12	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (N e. NN -> (x e. dom dom (RRn` N) <-> x e. (RR ^m (1...N))))
125	124	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((N e. NN /\ x e. dom dom (RRn` N)) -> x e. (RR ^m (1...N)))
126	26, 27	elmap 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x e. (RR ^m (1...N)) <-> x:(1...N)-->RR)
127	125, 126	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((N e. NN /\ x e. dom dom (RRn` N)) -> x:(1...N)-->RR)
128	123, 127	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((N e. NN /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ n e. (1...N)) -> (x` n) e. RR)
129	128	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ n e. (1...N)) -> (x` n) e. RR)
130	129	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ n e. (1...N)) -> (x` n) e. RR)
131	91, 94	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((N e. NN /\ (f:NN-->dom dom (RRn` N) /\ m e. NN)) -> (f` m):(1...N)-->RR)
132	131	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ m e. NN) -> (f` m):(1...N)-->RR)
133	87, 132	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ m e. NN) /\ n e. (1...N)) -> ((f` m)` n) e. RR)
134	133	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ n e. (1...N)) /\ m e. NN) -> ((f` m)` n) e. RR)
135	134	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ n e. (1...N)) -> A.m e. NN ((f` m)` n) e. RR)
136	135	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ n e. (1...N)) -> A.m e. NN ((f` m)` n) e. RR)
137	136	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ n e. (1...N)) -> A.m e. NN ((f` m)` n) e. RR)
138	137, 100	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ n e. (1...N)) -> {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}:NN-->RR)
139	73	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. NN -> ((f` k)` n) = ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}` k))
140	46, 139	lmbrnns 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((abs o. - ) |` (RR X. RR)) e. Met /\ (x` n) e. RR /\ {<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))}:NN-->RR) -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) <-> A.s e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s)))
141	122, 130, 138, 140	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ n e. (1...N)) -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) <-> A.s e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s)))
142		rpdivcl 7249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((r e. RR+ /\ (sqr` N) e. RR+) -> (r / (sqr` N)) e. RR+)
143		nnrp 7238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (N e. NN -> N e. RR+)
144		rpsqrcl 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (N e. RR+ -> (sqr` N) e. RR+)
145	143, 144	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (N e. NN -> (sqr` N) e. RR+)
146	142, 145	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((r e. RR+ /\ N e. NN) -> (r / (sqr` N)) e. RR+)
147	146	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((N e. NN /\ r e. RR+) -> (r / (sqr` N)) e. RR+)
148		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (s = (r / (sqr` N)) -> ((((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s <-> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N))))
149	148	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (s = (r / (sqr` N)) -> ((j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s) <-> (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
150	149	rexralbidv 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (s = (r / (sqr` N)) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
151	150	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((r / (sqr` N)) e. RR+ -> (A.s e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
152	147, 151	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((N e. NN /\ r e. RR+) -> (A.s e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
153	152	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (A.s e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
154	153	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (A.s e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
155	154	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ n e. (1...N)) -> (A.s e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < s) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
156	141, 155	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ n e. (1...N)) -> ({<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
157	156	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) -> A.n e. (1...N)E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
158		elnnuz 7609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (N e. NN <-> N e. (ZZ>=` 1))
159		fzfi 15786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (N e. (ZZ>=` 1) -> (1...N) e. Fin)
160	158, 159	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (N e. NN -> (1...N) e. Fin)
161	160	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (1...N) e. Fin)
162	161	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (1...N) e. Fin)
163	158	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (N e. NN -> N e. (ZZ>=` 1))
164		eluzfz1 7657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (N e. (ZZ>=` 1) -> 1 e. (1...N))
165		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1 e. (1...N) -> (1...N) =/= (/))
166	163, 164, 165	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (N e. NN -> (1...N) =/= (/))
167	166	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (1...N) =/= (/))
168	167	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (1...N) =/= (/))
169		nnssre 7110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN C_ RR
170	169	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> NN C_ RR)
171		filbcmb 15776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((1...N) e. Fin /\ (1...N) =/= (/) /\ NN C_ RR) -> (A.n e. (1...N)E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
172	162, 168, 170, 171	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (A.n e. (1...N)E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))))
173	6	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (f:NN-->dom dom (RRn` N) -> (k e. NN -> (f` k) e. dom dom (RRn` N)))
174	173	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (k e. NN -> (f` k) e. dom dom (RRn` N)))
175	174	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (k e. NN -> (f` k) e. dom dom (RRn` N)))
176	175	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ k e. NN) -> ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)))
177	146	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (N e. NN -> (r e. RR+ -> (r / (sqr` N)) e. RR+))
178	177	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) -> (r e. RR+ -> (r / (sqr` N)) e. RR+))
179	19, 20	rrndstprj2 16018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) /\ ((r / (sqr` N)) e. RR+ /\ A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))) -> ((f` k)(RRn` N)x) < ((r / (sqr` N)) x. (sqr` N)))
180	179	exp32 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) -> ((r / (sqr` N)) e. RR+ -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < ((r / (sqr` N)) x. (sqr` N)))))
181	178, 180	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) -> (r e. RR+ -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < ((r / (sqr` N)) x. (sqr` N)))))
182	181	imp32 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) /\ (r e. RR+ /\ A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))) -> ((f` k)(RRn` N)x) < ((r / (sqr` N)) x. (sqr` N)))
183		rpcn 7237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (r e. RR+ -> r e. CC)
184	183	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((N e. NN /\ r e. RR+) -> r e. CC)
185		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (N e. NN -> N e. RR)
186		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (N e. NN -> N e. NN0)
187		nn0ge0 7326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (N e. NN0 -> 0 <_ N)
188	186, 187	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (N e. NN -> 0 <_ N)
189	185, 188	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (N e. NN -> (N e. RR /\ 0 <_ N))
190		sqrcl 7960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((N e. RR /\ 0 <_ N) -> (sqr` N) e. RR)
191		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((sqr` N) e. RR -> (sqr` N) e. CC)
192	189, 190, 191	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (N e. NN -> (sqr` N) e. CC)
193	192	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((N e. NN /\ r e. RR+) -> (sqr` N) e. CC)
194		rpne0 7243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((sqr` N) e. RR+ -> (sqr` N) =/= 0)
195	143, 144, 194	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (N e. NN -> (sqr` N) =/= 0)
196	195	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((N e. NN /\ r e. RR+) -> (sqr` N) =/= 0)
197		divcan1 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((r e. CC /\ (sqr` N) e. CC /\ (sqr` N) =/= 0) -> ((r / (sqr` N)) x. (sqr` N)) = r)
198	184, 193, 196, 197	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((N e. NN /\ r e. RR+) -> ((r / (sqr` N)) x. (sqr` N)) = r)
199	198	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) /\ r e. RR+) -> ((r / (sqr` N)) x. (sqr` N)) = r)
200	199	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) /\ (r e. RR+ /\ A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))) -> ((r / (sqr` N)) x. (sqr` N)) = r)
201	182, 200	breqtrd 3361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) /\ (r e. RR+ /\ A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)))) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)
202	201	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((N e. NN /\ (f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N))) -> ((r e. RR+ /\ A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N))) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
203	202	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((N e. NN /\ ((f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N)))) -> ((r e. RR+ /\ A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N))) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
204	203	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((N e. NN /\ ((f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N)))) /\ r e. RR+) -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
205	36, 124	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (N e. NN -> (((f` k) e. dom dom (RRn` N) /\ x e. dom dom (RRn` N)) <-> ((f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N)))))
206	205	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (N e. NN -> (((f` k) e. dom dom (RRn` N) /\ x e. dom dom (RRn` N)) -> ((f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N)))))
207	206	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((N e. NN /\ ((f` k) e. dom dom (RRn` N) /\ x e. dom dom (RRn` N))) -> (N e. NN /\ ((f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N)))))
208	207	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((N e. NN /\ (x e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (N e. NN /\ ((f` k) e. (RR ^m (1...N)) /\ x e. (RR ^m (1...N)))))
209	204, 208	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((N e. NN /\ (x e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) /\ r e. RR+) -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
210	209	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((N e. NN /\ r e. RR+) /\ (x e. dom dom (RRn` N) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
211	210	an4s 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((N e. NN /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ (r e. RR+ /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
212	211	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ (r e. RR+ /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N))) -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
213	212	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ (f` k) e. dom dom (RRn` N)) -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
214	176, 213	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ k e. NN) -> (A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N)) -> ((f` k)(RRn` N)x) < r))
215	214	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) /\ k e. NN) -> ((j <_ k -> A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N))) -> (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
216	215	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (A.k e. NN (j <_ k -> A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N))) -> A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
217	216	reximdv 2202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> A.n e. (1...N)(((f` k)` n)((abs o. - ) |` (RR X. RR))(x` n)) < (r / (sqr` N))) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
218	157, 172, 217	3syld 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ r e. RR+) -> (A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
219	218	r19.21adva 2182	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) -> (A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) -> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
220		eqidd 1885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> (f` k) = (f` k))
221	1, 220	lmbrnns 9220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((RRn` N) e. Met /\ x e. dom dom (RRn` N) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (f(~~>m` (RRn` N))x <-> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
222	221, 3	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. NN /\ x e. dom dom (RRn` N) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (f(~~>m` (RRn` N))x <-> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
223	222	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((N e. NN /\ x e. dom dom (RRn` N)) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (f(~~>m` (RRn` N))x <-> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
224	223	an1rs 547	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) -> (f(~~>m` (RRn` N))x <-> A.r e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((f` k)(RRn` N)x) < r)))
225	219, 224	sylibrd 221	. . . . . . . . . . 11 |- (((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) /\ x e. dom dom (RRn` N)) -> (A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) -> f(~~>m` (RRn` N))x))
226	225	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (x e. dom dom (RRn` N) -> (A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) -> f(~~>m` (RRn` N))x)))
227	226	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (x e. dom dom (RRn` N) -> (A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n) -> f(~~>m` (RRn` N))x)))
228	227	imdistand 493	. . . . . . . 8 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> ((x e. dom dom (RRn` N) /\ A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n)) -> (x e. dom dom (RRn` N) /\ f(~~>m` (RRn` N))x)))
229	12	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> dom dom (RRn` N) = (RR ^m (1...N)))
230	229	eleq2d 1964	. . . . . . . . . 10 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (x e. dom dom (RRn` N) <-> x e. (RR ^m (1...N))))
231	230, 126	syl6bb 595	. . . . . . . . 9 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (x e. dom dom (RRn` N) <-> x:(1...N)-->RR))
232	231	biimprd 171	. . . . . . . 8 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (x:(1...N)-->RR -> x e. dom dom (RRn` N)))
233	228, 232	syland 506	. . . . . . 7 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> ((x:(1...N)-->RR /\ A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n)) -> (x e. dom dom (RRn` N) /\ f(~~>m` (RRn` N))x)))
234	233	eximdv 1669	. . . . . 6 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> (E.x(x:(1...N)-->RR /\ A.n e. (1...N){<.m, z>. | (m e. NN /\ z = ((f` m)` n))} (~~>m` ((abs o. - ) |` (RR X. RR)))(x` n)) -> E.x(x e. dom dom (RRn` N) /\ f(~~>m` (RRn` N))x)))
235	121, 234	mpd 29	. . . . 5 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> E.x(x e. dom dom (RRn` N) /\ f(~~>m` (RRn` N))x))
236		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.x e. dom dom (RRn` N)f(~~>m` (RRn` N))x <-> E.x(x e. dom dom (RRn` N) /\ f(~~>m` (RRn` N))x))
237	235, 236	sylibr 217	. . . 4 |- (((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) /\ f:NN-->dom dom (RRn` N)) -> E.x e. dom dom (RRn` N)f(~~>m` (RRn` N))x)
238	237	ex 402	. . 3 |- ((N e. NN /\ f e. (Cau` (RRn` N))) -> (f:NN-->dom dom (RRn` N) -> E.x e. dom dom (RRn` N)f(~~>m` (RRn` N))x))
239	238	r19.21aiva 2176	. 2 |- (N e. NN -> A.f e. (Cau` (RRn` N))(f:NN-->dom dom (RRn` N) -> E.x e. dom dom (RRn` N)f(~~>m` (RRn` N))x))
240	2, 3, 239	sylanbrc 527	1 |- (N e. NN -> (RRn` N) e. CMet)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  Fincfn 5426  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  RR+crp 6453   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  sqrcsqr 7919  abscabs 8000  Metcme 9066  ~~>mclm 9197  Caucca 9198  CMetcms 9199  RRncrrn 16011

This theorem is referenced by:  rrnheibor 16023

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-lp 9017  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202  df-rrn 16012

Copyright terms: Public domain