Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncms Structured version   Unicode version

Theorem rrncms 30247
Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrncms.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrncms  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
) )

Proof of Theorem rrncms
Dummy variables  f  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrncms.1 . . . . 5  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
4 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  I  e.  Fin )
5 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f  e.  ( Cau `  ( Rn
`  I ) ) )
6 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f : NN --> X )
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( f `  t
) `  m )
) ) )  =  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( f `
 t ) `  m ) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrncmslem 30246 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) )
98ex 434 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  -> 
( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) )
109ralrimiva 2881 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I ) ) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) )
11 nnuz 11129 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10906 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  1  e.  ZZ )
141rrnmet 30243 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
1511, 3, 13, 14iscmet3 21600 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( Rn `  I
)  e.  ( CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I ) ) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) ) )
1610, 15mpbird 232 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   dom cdm 5005    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   RRcr 9503   1c1 9505    - cmin 9817   NNcn 10548   ZZcz 10876   abscabs 13047    ~~> cli 13287   MetOpencmopn 18278   ~~> tclm 19595   Caucca 21560   CMetcms 21561   Rncrrn 30239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-ntr 19389  df-nei 19467  df-lm 19598  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-rrn 30240
This theorem is referenced by:  rrnheibor  30251
  Copyright terms: Public domain W3C validator