Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncms Structured version   Unicode version

Theorem rrncms 28737
Description: Euclidean space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrncms.1  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
Assertion
Ref Expression
rrncms  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
) )

Proof of Theorem rrncms
Dummy variables  f  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrncms.1 . . . . 5  |-  X  =  ( RR  ^m  I
)
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )  =  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) )
4 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  I  e.  Fin )
5 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f  e.  ( Cau `  ( Rn
`  I ) ) )
6 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f : NN --> X )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  (
t  e.  NN  |->  ( ( f `  t
) `  m )
) ) )  =  ( m  e.  I  |->  (  ~~>  `  ( t  e.  NN  |->  ( ( f `
 t ) `  m ) ) ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrncmslem 28736 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  /\  f : NN --> X )  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) )
98ex 434 . . 3  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I
) ) )  -> 
( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) )
109ralrimiva 2804 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  A. f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I ) ) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) )
11 nnuz 10901 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1z 10681 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1312a1i 11 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  1  e.  ZZ )
141rrnmet 28733 . . 3  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( Met `  X
) )
1511, 3, 13, 14iscmet3 20809 . 2  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
( Rn `  I
)  e.  ( CMet `  X )  <->  A. f  e.  ( Cau `  ( Rn `  I ) ) ( f : NN --> X  ->  f  e.  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( Rn `  I ) ) ) ) ) )
1610, 15mpbird 232 1  |-  ( I  e.  Fin  ->  ( Rn `  I )  e.  ( CMet `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   dom cdm 4845    |` cres 4847    o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   RRcr 9286   1c1 9288    - cmin 9600   NNcn 10327   ZZcz 10651   abscabs 12728    ~~> cli 12967   MetOpencmopn 17811   ~~> tclm 18835   Caucca 20769   CMetcms 20770   Rncrrn 28729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-ntr 18629  df-nei 18707  df-lm 18838  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-cfil 20771  df-cau 20772  df-cmet 20773  df-rrn 28730
This theorem is referenced by:  rrnheibor  28741
  Copyright terms: Public domain W3C validator