Theorem fmpt2 7126

Description: Functionality, domain and range of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpt2	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpt2x 7125	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5098	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 5950	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 263	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {csn 4125  ∪ ciun 4455   × cxp 5036  ⟶wf 5800   ↦ cmpt2 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060

This theorem is referenced by:  fnmpt2  7127  ovmpt2elrn  7130  fmpt2co  7147  eroprf  7732  omxpenlem  7946  mapxpen  8011  dffi3  8220  ixpiunwdom  8379  cantnfvalf  8445  iunfictbso  8820  axdc4lem  9160  axcclem  9162  addpqf  9645  mulpqf  9647  subf  10162  xaddf  11929  xmulf  11974  ixxf  12056  ioof  12142  fzf  12201  fzof  12336  axdc4uzlem  12644  sadcf  15013  smupf  15038  gcdf  15072  eucalgf  15134  vdwapf  15514  prdsval  15938  prdsplusg  15941  prdsmulr  15942  prdsvsca  15943  prdsds  15947  prdshom  15950  imasvscaf  16022  xpsff1o  16051  wunnat  16439  catcoppccl  16581  catcfuccl  16582  catcxpccl  16670  evlfcl  16685  hofcl  16722  plusffval  17070  mgmplusf  17074  grpsubf  17317  subgga  17556  lactghmga  17647  sylow1lem2  17837  sylow3lem1  17865  lsmssv  17881  lsmidm  17900  efgmf  17949  efgtf  17958  frgpuptf  18006  scaffval  18704  lmodscaf  18708  evlslem2  19333  xrsds  19608  ipffval  19812  phlipf  19816  mamucl  20026  matbas2d  20048  mamumat1cl  20064  ordtbas2  20805  iccordt  20828  txuni2  21178  xkotf  21198  txbasval  21219  tx1stc  21263  xkococn  21273  cnmpt12  21280  cnmpt21  21284  cnmpt2t  21286  cnmpt22  21287  cnmptcom  21291  cnmpt2k  21301  txswaphmeo  21418  xpstopnlem1  21422  cnmpt2plusg  21702  cnmpt2vsca  21808  prdsdsf  21982  blfvalps  21998  blfps  22021  blf  22022  stdbdmet  22131  met2ndci  22137  dscmet  22187  xrsxmet  22420  cnmpt2ds  22454  cnmpt2pc  22535  iimulcn  22545  ishtpy  22579  reparphti  22605  cnmpt2ip  22855  bcthlem5  22933  rrxmet  22999  dyadf  23165  itg1addlem2  23270  mbfi1fseqlem1  23288  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  cxpcn3  24289  sgmf  24671  midf  25468  grpodivf  26776  nvmf  26884  ipf  26952  hvsubf  27256  ofoprabco  28847  sitmf  29741  sseqfv2  29783  cvxscon  30479  cvmlift2lem5  30543  uncf  32558  mblfinlem1  32616  mblfinlem2  32617  sdclem1  32709  metf1o  32721  rrnval  32796  rrnmet  32798  frmx  36496  frmy  36497  icof  38406