Theorem tx1stc 21263

Description: The topological product of two first-countable spaces is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tx1stc	⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem tx1stc

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stctop 21056	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 1st𝜔 → 𝑅 ∈ Top)
2		1stctop 21056	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 1st𝜔 → 𝑆 ∈ Top)
3		txtop 21182	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)
4	1, 2, 3	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)
5		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑅 = ∪ 𝑅
6	5	1stcclb 21057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑢 ∈ ∪ 𝑅) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝑅(𝑎 ≼ ω ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))))
7	6	ad2ant2r 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝑅(𝑎 ≼ ω ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))))
8		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ 𝑆
9	8	1stcclb 21057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆) → ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑆(𝑏 ≼ ω ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))
10	9	ad2ant2l 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) → ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑆(𝑏 ≼ ω ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))
11		reeanv 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝑅∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑆((𝑎 ≼ ω ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))) ∧ (𝑏 ≼ ω ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝑅(𝑎 ≼ ω ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑆(𝑏 ≼ ω ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))))
12		an4 861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ≼ ω ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))) ∧ (𝑏 ≼ ω ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) ↔ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))))
13		txopn 21215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) ∧ (𝑚 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑆)) → (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
14	13	ralrimivva 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → ∀𝑚 ∈ 𝑅 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
15	1, 2, 14	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → ∀𝑚 ∈ 𝑅 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) → ∀𝑚 ∈ 𝑅 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
17		elpwi 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 → 𝑎 ⊆ 𝑅)
18		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑅 → (∀𝑚 ∈ 𝑅 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) → ∀𝑚 ∈ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 → (∀𝑚 ∈ 𝑅 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) → ∀𝑚 ∈ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
20		elpwi 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑏 ⊆ 𝑆)
21		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝑆 → (∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝑏 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑆 → (∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) → ∀𝑛 ∈ 𝑏 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
23	22	ralimdv 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑆 → (∀𝑚 ∈ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) → ∀𝑚 ∈ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑏 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
24	19, 23	sylan9 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆) → (∀𝑚 ∈ 𝑅 ∀𝑛 ∈ 𝑆 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) → ∀𝑚 ∈ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑏 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
25	16, 24	mpan9 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) → ∀𝑚 ∈ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑏 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
26		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) = (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))
27	26	fmpt2 7126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑎 ∀𝑛 ∈ 𝑏 (𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)):(𝑎 × 𝑏)⟶(𝑅 ×t 𝑆))
28	25, 27	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) → (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)):(𝑎 × 𝑏)⟶(𝑅 ×t 𝑆))
29		frn 5966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)):(𝑎 × 𝑏)⟶(𝑅 ×t 𝑆) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
31		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V
32	31	elpw2 4755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆) ↔ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
33	30, 32	sylibr 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆))
35		omelon 8426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ω ∈ On
36		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
37	36	xpdom1 7944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ≼ ω → (𝑎 × 𝑏) ≼ (ω × 𝑏))
38		omex 8423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ω ∈ V
39	38	xpdom2 7940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ≼ ω → (ω × 𝑏) ≼ (ω × ω))
40		domtr 7895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 × 𝑏) ≼ (ω × 𝑏) ∧ (ω × 𝑏) ≼ (ω × ω)) → (𝑎 × 𝑏) ≼ (ω × ω))
41	37, 39, 40	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) → (𝑎 × 𝑏) ≼ (ω × ω))
42		xpomen 8721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
43		domentr 7901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 × 𝑏) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝑎 × 𝑏) ≼ ω)
44	41, 42, 43	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) → (𝑎 × 𝑏) ≼ ω)
45		ondomen 8743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ω ∈ On ∧ (𝑎 × 𝑏) ≼ ω) → (𝑎 × 𝑏) ∈ dom card)
46	35, 44, 45	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) → (𝑎 × 𝑏) ∈ dom card)
47		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑚 ∈ V
48		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑛 ∈ V
49	47, 48	xpex 6860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 × 𝑛) ∈ V
50	26, 49	fnmpt2i 7128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) Fn (𝑎 × 𝑏)
51		dffn4 6034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) Fn (𝑎 × 𝑏) ↔ (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)):(𝑎 × 𝑏)–onto→ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)))
52	50, 51	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)):(𝑎 × 𝑏)–onto→ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))
53		fodomnum 8763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 × 𝑏) ∈ dom card → ((𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)):(𝑎 × 𝑏)–onto→ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ (𝑎 × 𝑏)))
54	46, 52, 53	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ (𝑎 × 𝑏))
55		domtr 7895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ (𝑎 × 𝑏) ∧ (𝑎 × 𝑏) ≼ ω) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ ω)
56	54, 44, 55	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ ω)
57	56	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ ω)
58	1, 2	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → (𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top))
59	58	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → (𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top))
60		eltx 21181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑧 ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → (𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑧 ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
62		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
63	62	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
64	63	2rexbidv 3039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
65	64	rspccv 3279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑧 ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
66		r19.27v 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) → ∀𝑟 ∈ 𝑅 ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))
67		r19.29 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑟 ∈ 𝑅 ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 (((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
68		r19.29 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
69		opelxp 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ (𝑢 ∈ 𝑟 ∧ 𝑣 ∈ 𝑠))
70		pm3.35 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑟 ∧ (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))) → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))
71		pm3.35 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑠 ∧ (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))
72	70, 71	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝑟 ∧ (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑠 ∧ (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) → (∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))
73	72	an4s 865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝑟 ∧ 𝑣 ∈ 𝑠) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) → (∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))
74	69, 73	sylanb 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) → (∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))
75	74	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) → ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧))
76	75	anasss 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧))
77	76	an12s 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧))
78	77	expl 646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) → (((𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
79	78	reximdv 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
80	68, 79	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) → ((∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)))
81	80	impl 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧))
82	81	reximi 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝑅 (((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧))
83	67, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑟 ∈ 𝑅 ((𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧))
84	66, 83	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧))
85		reeanv 3086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑞 ∈ 𝑏 ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))
86		simpr1l 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → 𝑝 ∈ 𝑎)
87		simpr1r 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → 𝑞 ∈ 𝑏)
88		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → (𝑝 × 𝑞) = (𝑝 × 𝑞))
89		xpeq1 5052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → (𝑚 × 𝑛) = (𝑝 × 𝑛))
90	89	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → ((𝑝 × 𝑞) = (𝑚 × 𝑛) ↔ (𝑝 × 𝑞) = (𝑝 × 𝑛)))
91		xpeq2 5053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = 𝑞 → (𝑝 × 𝑛) = (𝑝 × 𝑞))
92	91	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = 𝑞 → ((𝑝 × 𝑞) = (𝑝 × 𝑛) ↔ (𝑝 × 𝑞) = (𝑝 × 𝑞)))
93	90, 92	rspc2ev 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏 ∧ (𝑝 × 𝑞) = (𝑝 × 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝑏 (𝑝 × 𝑞) = (𝑚 × 𝑛))
94	86, 87, 88, 93	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑚 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝑏 (𝑝 × 𝑞) = (𝑚 × 𝑛))
95		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝑝 ∈ V
96		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝑞 ∈ V
97	95, 96	xpex 6860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 × 𝑞) ∈ V
98		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = (𝑝 × 𝑞) → (𝑥 = (𝑚 × 𝑛) ↔ (𝑝 × 𝑞) = (𝑚 × 𝑛)))
99	98	2rexbidv 3039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 = (𝑝 × 𝑞) → (∃𝑚 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝑏 𝑥 = (𝑚 × 𝑛) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝑏 (𝑝 × 𝑞) = (𝑚 × 𝑛)))
100	97, 99	elab 3319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑝 × 𝑞) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝑏 𝑥 = (𝑚 × 𝑛)} ↔ ∃𝑚 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝑏 (𝑝 × 𝑞) = (𝑚 × 𝑛))
101	94, 100	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → (𝑝 × 𝑞) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝑏 𝑥 = (𝑚 × 𝑛)})
102	26	rnmpt2 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) = {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ 𝑎 ∃𝑛 ∈ 𝑏 𝑥 = (𝑚 × 𝑛)}
103	101, 102	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → (𝑝 × 𝑞) ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)))
104		simpr2 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))
105		opelxpi 5072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑣 ∈ 𝑞) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑝 × 𝑞))
106	105	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑝 × 𝑞))
107	104, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑝 × 𝑞))
108		xpss12 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑝 ⊆ 𝑟 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠) → (𝑝 × 𝑞) ⊆ (𝑟 × 𝑠))
109	108	ad2ant2l 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) → (𝑝 × 𝑞) ⊆ (𝑟 × 𝑠))
110	104, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → (𝑝 × 𝑞) ⊆ (𝑟 × 𝑠))
111		simpr3 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)
112	110, 111	sstrd 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → (𝑝 × 𝑞) ⊆ 𝑧)
113		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = (𝑝 × 𝑞) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑝 × 𝑞)))
114		sseq1 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = (𝑝 × 𝑞) → (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ (𝑝 × 𝑞) ⊆ 𝑧))
115	113, 114	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = (𝑝 × 𝑞) → ((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑝 × 𝑞) ∧ (𝑝 × 𝑞) ⊆ 𝑧)))
116	115	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝 × 𝑞) ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ∧ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑝 × 𝑞) ∧ (𝑝 × 𝑞) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))
117	103, 107, 112, 116	syl12anc 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))
118	117	3exp2 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑝 ∈ 𝑎 ∧ 𝑞 ∈ 𝑏) → (((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) → ((𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
119	118	rexlimdvv 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (∃𝑝 ∈ 𝑎 ∃𝑞 ∈ 𝑏 ((𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) → ((𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
120	85, 119	syl5bir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) → ((𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
121	120	impd 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))
122	121	rexlimdvva 3020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))
123	84, 122	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) → (((∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))
124	123	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ (𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω)) → ((∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))) → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
125	124	impr 647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))
126	65, 125	syl9r 76	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → (∀𝑤 ∈ 𝑧 ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑤 ∈ (𝑟 × 𝑠) ∧ (𝑟 × 𝑠) ⊆ 𝑧) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
127	61, 126	sylbid 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → (𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
128	127	ralrimiv 2948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))
129		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) → (𝑦 ≼ ω ↔ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ ω))
130		rexeq 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) → (∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))
131	130	imbi2d 329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) → ((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
132	131	ralbidv 2969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) → (∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
133	129, 132	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) → ((𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))) ↔ (ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
134	133	rspcev 3282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆) ∧ (ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛)) ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑚 ∈ 𝑎, 𝑛 ∈ 𝑏 ↦ (𝑚 × 𝑛))(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
135	34, 57, 128, 134	syl12anc 1316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) ∧ ((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠))))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
136	135	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) → (((𝑎 ≼ ω ∧ 𝑏 ≼ ω) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟)) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
137	12, 136	syl5bi 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑅 ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑆)) → (((𝑎 ≼ ω ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))) ∧ (𝑏 ≼ ω ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
138	137	rexlimdvva 3020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) → (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝑅∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑆((𝑎 ≼ ω ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))) ∧ (𝑏 ≼ ω ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
139	11, 138	syl5bir 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) → ((∃𝑎 ∈ 𝒫 𝑅(𝑎 ≼ ω ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 (𝑢 ∈ 𝑟 → ∃𝑝 ∈ 𝑎 (𝑢 ∈ 𝑝 ∧ 𝑝 ⊆ 𝑟))) ∧ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑆(𝑏 ≼ ω ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 (𝑣 ∈ 𝑠 → ∃𝑞 ∈ 𝑏 (𝑣 ∈ 𝑞 ∧ 𝑞 ⊆ 𝑠)))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
140	7, 10, 139	mp2and 711	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) ∧ (𝑢 ∈ ∪ 𝑅 ∧ 𝑣 ∈ ∪ 𝑆)) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
141	140	ralrimivva 2954	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → ∀𝑢 ∈ ∪ 𝑅∀𝑣 ∈ ∪ 𝑆∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
142		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧))
143		eleq1 2676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤))
144	143	anbi1d 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))
145	144	rexbidv 3034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))
146	142, 145	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
147	146	ralbidv 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
148	147	anbi2d 736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))) ↔ (𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
149	148	rexbidv 3034	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
150	149	ralxp 5185	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆)∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))) ↔ ∀𝑢 ∈ ∪ 𝑅∀𝑣 ∈ ∪ 𝑆∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
151	141, 150	sylibr 223	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → ∀𝑥 ∈ (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆)∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
152	5, 8	txuni 21205	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
153	1, 2, 152	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
154	153	raleqdv 3121	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → (∀𝑥 ∈ (∪ 𝑅 × ∪ 𝑆)∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅 ×t 𝑆)∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
155	151, 154	mpbid 221	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅 ×t 𝑆)∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧))))
156		eqid 2610	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅 ×t 𝑆) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)
157	156	is1stc2 21055	. 2 ⊢ ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ 1st𝜔 ↔ ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (𝑅 ×t 𝑆)∃𝑦 ∈ 𝒫 (𝑅 ×t 𝑆)(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑅 ×t 𝑆)(𝑥 ∈ 𝑧 → ∃𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ 𝑧)))))
158	4, 155, 157	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝑆 ∈ 1st𝜔) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ 1st𝜔)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ωcom 6957   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  cardccrd 8644  Topctop 20517  1^st𝜔c1stc 21050   ×_t ctx 21173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-1stc 21052  df-tx 21175

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