MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcn2 21262
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
txlm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
txlm.g (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
lmcn2.fl (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
lmcn2.gl (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
lmcn2.o (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
Assertion
Ref Expression
lmcn2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
21ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
3 txlm.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
43ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ 𝑌)
5 opelxpi 5072 . . . . . 6 (((𝐹𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑛) ∈ 𝑌) → ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
62, 4, 5syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
7 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
8 txlm.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 txlm.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10 txtopon 21204 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
118, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
12 lmcn2.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
13 cntop2 20855 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ Top)
15 eqid 2610 . . . . . . . . 9 𝑁 = 𝑁
1615toptopon 20548 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
1714, 16sylib 207 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
18 cnf2 20863 . . . . . . 7 (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
1911, 17, 12, 18syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
2019feqmptd 6159 . . . . 5 (𝜑𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂𝑥)))
21 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
22 df-ov 6552 . . . . . 6 ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
2321, 22syl6eqr 2662 . . . . 5 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
246, 7, 20, 23fmptco 6303 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛))))
25 lmcn2.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
2624, 25syl6eqr 2662 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = 𝐻)
27 lmcn2.fl . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
28 lmcn2.gl . . . . 5 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
29 txlm.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
30 txlm.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
31 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
3229, 30, 8, 9, 1, 3, 31txlm 21261 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆) ↔ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
3327, 28, 32mpbi2and 958 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
3433, 12lmcn 20919 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
3526, 34eqbrtrrd 4607 . 2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
36 df-ov 6552 . 2 (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
3735, 36syl6breqr 4625 1 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cop 4131   cuni 4372   class class class wbr 4583  cmpt 4643   × cxp 5036  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cz 11254  cuz 11563  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  𝑡clm 20840   ×t ctx 21173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255  df-uz 11564  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-tx 21175
This theorem is referenced by:  hlimadd  27434
  Copyright terms: Public domain W3C validator