MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tx1stc Structured version   Unicode version

Theorem tx1stc 20335
Description: The topological product of two first-countable spaces is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx1stc  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( R  tX  S )  e. 
1stc )

Proof of Theorem tx1stc
Dummy variables  a 
b  m  n  p  q  r  s  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 20128 . . 3  |-  ( R  e.  1stc  ->  R  e. 
Top )
2 1stctop 20128 . . 3  |-  ( S  e.  1stc  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 20254 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 475 . 2  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  U. R  =  U. R
651stcclb 20129 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  u  e.  U. R )  ->  E. a  e.  ~P  R ( a  ~<_  om 
/\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) ) )
76ad2ant2r 745 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  ->  E. a  e.  ~P  R ( a  ~<_  om 
/\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) ) )
8 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
981stcclb 20129 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  1stc  /\  v  e.  U. S )  ->  E. b  e.  ~P  S ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )
109ad2ant2l 744 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  ->  E. b  e.  ~P  S ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )
11 reeanv 2974 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ~P  R E. b  e.  ~P  S ( ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )  <-> 
( E. a  e. 
~P  R ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  E. b  e. 
~P  S ( b  ~<_  om  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) ) )
12 an4 825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  (
b  ~<_  om  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  <->  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  (
u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) ) )
13 txopn 20287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( m  e.  R  /\  n  e.  S
) )  ->  (
m  X.  n )  e.  ( R  tX  S ) )
1413ralrimivva 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) )
151, 2, 14syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n )  e.  ( R  tX  S ) )
1615adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  ->  A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) )
17 elpwi 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ~P R  -> 
a  C_  R )
18 ssralv 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a 
C_  R  ->  ( A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. m  e.  a  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ~P R  -> 
( A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n )  e.  ( R  tX  S )  ->  A. m  e.  a 
A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
20 elpwi 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  ~P S  -> 
b  C_  S )
21 ssralv 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b 
C_  S  ->  ( A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. n  e.  b 
( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ~P S  -> 
( A. n  e.  S  ( m  X.  n )  e.  ( R  tX  S )  ->  A. n  e.  b  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
2322ralimdv 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ~P S  -> 
( A. m  e.  a  A. n  e.  S  ( m  X.  n )  e.  ( R  tX  S )  ->  A. m  e.  a 
A. n  e.  b  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
2419, 23sylan9 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S )  ->  ( A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. m  e.  a  A. n  e.  b 
( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
2516, 24mpan9 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  A. m  e.  a 
A. n  e.  b  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) )
26 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  =  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )
2726fmpt2 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  a  A. n  e.  b  (
m  X.  n )  e.  ( R  tX  S )  <->  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b
) --> ( R  tX  S ) )
2825, 27sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b
) --> ( R  tX  S ) )
29 frn 5676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b ) --> ( R  tX  S )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  C_  ( R  tX  S ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  C_  ( R  tX  S ) )
31 ovex 6262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R 
tX  S )  e. 
_V
3231elpw2 4557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  e.  ~P ( R  tX  S )  <->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  C_  ( R  tX  S ) )
3330, 32sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  e. 
~P ( R  tX  S ) )
3433adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  e.  ~P ( R 
tX  S ) )
35 omelon 8016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  e.  On
36 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  b  e. 
_V
3736xpdom1 7574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  ~<_  om  ->  ( a  X.  b )  ~<_  ( om 
X.  b ) )
38 omex 8013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  om  e.  _V
3938xpdom2 7570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  ~<_  om  ->  ( om  X.  b )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
40 domtr 7526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  X.  b
)  ~<_  ( om  X.  b )  /\  ( om  X.  b )  ~<_  ( om  X.  om )
)  ->  ( a  X.  b )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
4137, 39, 40syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ( a  X.  b )  ~<_  ( om  X.  om )
)
42 xpomen 8345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
43 domentr 7532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  X.  b
)  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( a  X.  b )  ~<_  om )
4441, 42, 43sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ( a  X.  b )  ~<_  om )
45 ondomen 8370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( a  X.  b
)  ~<_  om )  ->  (
a  X.  b )  e.  dom  card )
4635, 44, 45sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ( a  X.  b )  e. 
dom  card )
47 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  m  e. 
_V
48 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  n  e. 
_V
4947, 48xpex 6542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  X.  n )  e. 
_V
5026, 49fnmpt2i 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  Fn  ( a  X.  b )
51 dffn4 5740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  Fn  ( a  X.  b )  <->  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b
) -onto-> ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) )
5250, 51mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b ) -onto-> ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )
53 fodomnum 8390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  X.  b )  e.  dom  card  ->  ( ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) ) : ( a  X.  b )
-onto->
ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  ~<_  ( a  X.  b ) ) )
5446, 52, 53mpisyl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  ( a  X.  b ) )
55 domtr 7526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  ~<_  om )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  om )
5654, 44, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  om )
5756ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  om )
581, 2anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top ) )
5958ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( R  e.  Top  /\  S  e. 
Top ) )
60 eltx 20253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( z  e.  ( R  tX  S )  <->  A. w  e.  z  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( R  tX  S
)  <->  A. w  e.  z  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
62 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( w  e.  ( r  X.  s
)  <->  <. u ,  v
>.  e.  ( r  X.  s ) ) )
6362anbi1d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( w  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
64632rexbidv 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) ) )
6564rspccv 3156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. w  e.  z  E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )  ->  ( <. u ,  v
>.  e.  z  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
66 r19.27v 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )  ->  A. r  e.  R  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )
67 r19.29 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. r  e.  R  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. r  e.  R  ( (
( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )  /\  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
68 r19.29 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. s  e.  S  ( (
v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
69 opelxp 4972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( u  e.  r  /\  v  e.  s ) )
70 pm3.35 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( u  e.  r  /\  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )
71 pm3.35 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( v  e.  s  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )
7270, 71anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( u  e.  r  /\  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  ( v  e.  s  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  ( E. p  e.  a  (
u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
7372an4s 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( u  e.  r  /\  v  e.  s )  /\  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  ( E. p  e.  a  (
u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
7469, 73sylanb 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
<. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( (
u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  ( E. p  e.  a  (
u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
7574anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. u ,  v
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z )  ->  (
( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )
7675anasss 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
<. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( (
( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  (
( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )
7776an12s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  ( <. u ,  v
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( ( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )
7877expl 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  ->  ( (
( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  (
( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
7978reximdv 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  ->  ( E. s  e.  S  (
( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
) )
8068, 79syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  ->  ( ( A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
) )
8180impl 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. s  e.  S  (
<. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
)
8281reximi 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. r  e.  R  ( ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. s  e.  S  (
<. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
)
8367, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. r  e.  R  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
)
8466, 83sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
)
85 reeanv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. p  e.  a  E. q  e.  b  (
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  <->  ( E. p  e.  a  (
u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
86 simpr1l 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  p  e.  a )
87 simpr1r 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  q  e.  b )
88 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  =  ( p  X.  q ) )
89 xpeq1 4956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  =  p  ->  (
m  X.  n )  =  ( p  X.  n ) )
9089eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  =  p  ->  (
( p  X.  q
)  =  ( m  X.  n )  <->  ( p  X.  q )  =  ( p  X.  n ) ) )
91 xpeq2 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  q  ->  (
p  X.  n )  =  ( p  X.  q ) )
9291eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  q  ->  (
( p  X.  q
)  =  ( p  X.  n )  <->  ( p  X.  q )  =  ( p  X.  q ) ) )
9390, 92rspc2ev 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( p  e.  a  /\  q  e.  b  /\  ( p  X.  q
)  =  ( p  X.  q ) )  ->  E. m  e.  a  E. n  e.  b  ( p  X.  q
)  =  ( m  X.  n ) )
9486, 87, 88, 93syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  E. m  e.  a  E. n  e.  b  ( p  X.  q
)  =  ( m  X.  n ) )
95 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  p  e. 
_V
96 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  q  e. 
_V
9795, 96xpex 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  X.  q )  e. 
_V
98 eqeq1 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  ( p  X.  q )  ->  (
x  =  ( m  X.  n )  <->  ( p  X.  q )  =  ( m  X.  n ) ) )
99982rexbidv 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( p  X.  q )  ->  ( E. m  e.  a  E. n  e.  b  x  =  ( m  X.  n )  <->  E. m  e.  a  E. n  e.  b  ( p  X.  q )  =  ( m  X.  n ) ) )
10097, 99elab 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( p  X.  q )  e.  { x  |  E. m  e.  a  E. n  e.  b  x  =  ( m  X.  n ) }  <->  E. m  e.  a  E. n  e.  b 
( p  X.  q
)  =  ( m  X.  n ) )
10194, 100sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  e.  {
x  |  E. m  e.  a  E. n  e.  b  x  =  ( m  X.  n
) } )
10226rnmpt2 6349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  =  { x  |  E. m  e.  a  E. n  e.  b  x  =  ( m  X.  n ) }
103101, 102syl6eleqr 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) )
104 simpr2 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
105 opelxpi 4974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( u  e.  p  /\  v  e.  q )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( p  X.  q
) )
106105ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  ->  <. u ,  v >.  e.  ( p  X.  q
) )
107104, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  <. u ,  v
>.  e.  ( p  X.  q ) )
108 xpss12 5050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( p  C_  r  /\  q  C_  s )  -> 
( p  X.  q
)  C_  ( r  X.  s ) )
109108ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  -> 
( p  X.  q
)  C_  ( r  X.  s ) )
110104, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  C_  (
r  X.  s ) )
111 simpr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( r  X.  s )  C_  z
)
112110, 111sstrd 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  C_  z
)
113 eleq2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( p  X.  q )  ->  ( <. u ,  v >.  e.  w  <->  <. u ,  v
>.  e.  ( p  X.  q ) ) )
114 sseq1 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( p  X.  q )  ->  (
w  C_  z  <->  ( p  X.  q )  C_  z
) )
115113, 114anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( p  X.  q )  ->  (
( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  ( p  X.  q )  /\  ( p  X.  q )  C_  z
) ) )
116115rspcev 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p  X.  q
)  e.  ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  /\  ( <.
u ,  v >.  e.  ( p  X.  q
)  /\  ( p  X.  q )  C_  z
) )  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) )
117103, 107, 112, 116syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) )
1181173exp2 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  ->  ( (
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  -> 
( ( r  X.  s )  C_  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
119118rexlimdvv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  ( E. p  e.  a  E. q  e.  b 
( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  ->  ( ( r  X.  s )  C_  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
12085, 119syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  ->  ( ( r  X.  s )  C_  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
121120impd 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( ( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
122121rexlimdvva 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  -> 
( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
12384, 122syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  -> 
( ( ( A. r  e.  R  (
u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )  /\  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
124123expd 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  -> 
( ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  -> 
( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
125124impr 617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
12665, 125syl9r 71 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( A. w  e.  z  E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )  ->  ( <. u ,  v
>.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
12761, 126sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( R  tX  S
)  ->  ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
128127ralrimiv 2815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
129 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  ~<_  om )
)
130 rexeq 3004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
131130imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( ( <.
u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
132131ralbidv 2842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
133129, 132anbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  om 
/\  A. z  e.  ( R  tX  S ) ( <. u ,  v
>.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
134133rspcev 3159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  e. 
~P ( R  tX  S )  /\  ( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
13534, 57, 128, 134syl12anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
136135ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ( ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
13712, 136syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ( ( ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
138137rexlimdvva 2902 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  -> 
( E. a  e. 
~P  R E. b  e.  ~P  S ( ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
13911, 138syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  -> 
( ( E. a  e.  ~P  R ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  E. b  e. 
~P  S ( b  ~<_  om  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1407, 10, 139mp2and 677 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
141140ralrimivva 2824 . . . 4  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  A. u  e.  U. R A. v  e.  U. S E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
142 eleq1 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( x  e.  z  <->  <. u ,  v
>.  e.  z ) )
143 eleq1 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( x  e.  w  <->  <. u ,  v
>.  e.  w ) )
144143anbi1d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
145144rexbidv 2917 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
146142, 145imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
147146ralbidv 2842 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
148147anbi2d 702 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
149148rexbidv 2917 . . . . 5  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
150149ralxp 5086 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y 
( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <->  A. u  e.  U. R A. v  e.  U. S E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
151141, 150sylibr 212 . . 3  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  A. x  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
1525, 8txuni 20277 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
1531, 2, 152syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
154153raleqdv 3009 . . 3  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( A. x  e.  ( U. R  X.  U. S
) E. y  e. 
~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <->  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
155151, 154mpbid 210 . 2  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
156 eqid 2402 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
157156is1stc2 20127 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  1stc  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1584, 155, 157sylanbrc 662 1  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( R  tX  S )  e. 
1stc )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2753   E.wrex 2754    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   <.cop 3977   U.cuni 4190   class class class wbr 4394   Oncon0 4821    X. cxp 4940   dom cdm 4942   ran crn 4943    Fn wfn 5520   -->wf 5521   -onto->wfo 5523  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   omcom 6638    ~~ cen 7471    ~<_ cdom 7472   cardccrd 8268   Topctop 19578   1stcc1stc 20122    tX ctx 20245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-oi 7889  df-card 8272  df-acn 8275  df-topgen 14950  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-1stc 20124  df-tx 20247
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator