Theorem fnmpt2i 7128

Description: Functionality and domain of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
fnmpt2i.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fnmpt2i	⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fnmpt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpt2i.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
2	1	rgen2w 2909	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V
3		fmpt2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpt2 7127	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   × cxp 5036   Fn wfn 5799   ↦ cmpt2 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060

This theorem is referenced by:  dmmpt2  7129  fnoa  7475  fnom  7476  fnoe  7477  fnmap  7751  fnpm  7752  cdafn  8874  addpqnq  9639  mulpqnq  9642  elq  11666  cnref1o  11703  ccatfn  13210  qnnen  14781  restfn  15908  prdsdsfn  15948  imasdsfn  15997  imasvscafn  16020  homffn  16176  comfffn  16187  comffn  16188  isoval  16248  cofucl  16371  fnfuc  16428  natffn  16432  catcisolem  16579  estrchomfn  16598  funcestrcsetclem4  16606  funcsetcestrclem4  16621  fnxpc  16639  1stfcl  16660  2ndfcl  16661  prfcl  16666  evlfcl  16685  curf1cl  16691  curfcl  16695  hofcl  16722  yonedalem3  16743  yonedainv  16744  plusffn  17073  mulgfval  17365  mulgfn  17367  gimfn  17526  symgplusg  17632  sylow2blem2  17859  scaffn  18707  lmimfn  18847  mplsubrglem  19260  ipffn  19815  tx1stc  21263  tx2ndc  21264  hmeofn  21370  symgtgp  21715  qustgplem  21734  nmoffn  22325  rrxmfval  22997  mbfimaopnlem  23228  i1fadd  23268  i1fmul  23269  smatrcl  29190  txomap  29229  qtophaus  29231  pstmxmet  29268  dya2icoseg  29666  dya2iocrfn  29668  fncvm  30493  cntotbnd  32765  rnghmfn  41680  rhmfn  41708  rnghmsscmap2  41765  rnghmsscmap  41766  rngchomffvalALTV  41787  rngchomrnghmresALTV  41788  rhmsscmap2  41811  rhmsscmap  41812  funcringcsetcALTV2lem4  41831  funcringcsetclem4ALTV  41854  srhmsubc  41868  fldc  41875  fldhmsubc  41876  rhmsubclem1  41878  srhmsubcALTV  41887  fldcALTV  41894  fldhmsubcALTV  41895  rhmsubcALTVlem1  41897