Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfn 17367
 Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgfn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgfn.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgfn · Fn (ℤ × 𝐵)

Proof of Theorem mulgfn
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgfn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2610 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2610 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
5 mulgfn.t . . 3 · = (.g𝐺)
61, 2, 3, 4, 5mulgfval 17365 . 2 · = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥𝐵 ↦ if(𝑛 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))))
7 fvex 6113 . . 3 (0g𝐺) ∈ V
8 fvex 6113 . . . 4 (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛) ∈ V
9 fvex 6113 . . . 4 ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)) ∈ V
108, 9ifex 4106 . . 3 if(0 < 𝑛, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))) ∈ V
117, 10ifex 4106 . 2 if(𝑛 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))) ∈ V
126, 11fnmpt2i 7128 1 · Fn (ℤ × 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  -cneg 10146  ℕcn 10897  ℤcz 11254  seqcseq 12663  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  invgcminusg 17246  .gcmg 17363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-neg 10148  df-z 11255  df-seq 12664  df-mulg 17364 This theorem is referenced by:  mulgfvi  17368  tgpmulg2  21708
 Copyright terms: Public domain W3C validator