Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldcALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldcALTV 41894
 Description: The restriction of the category of division rings to the set of field homomorphisms is a category, the "category of fields". (Contributed by AV, 20-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
drhmsubcALTV.c 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
drhmsubcALTV.j 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
fldhmsubcALTV.d 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
fldhmsubcALTV.f 𝐹 = (𝑟𝐷, 𝑠𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fldcALTV (𝑈𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑟,𝑠   𝑈,𝑟,𝑠   𝑉,𝑟,𝑠   𝐷,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem fldcALTV
StepHypRef Expression
1 fvex 6113 . . . 4 (RingCatALTV‘𝑈) ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝑈𝑉 → (RingCatALTV‘𝑈) ∈ V)
3 drhmsubcALTV.j . . . . 5 𝐽 = (𝑟𝐶, 𝑠𝐶 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
4 ovex 6577 . . . . 5 (𝑟 RingHom 𝑠) ∈ V
53, 4fnmpt2i 7128 . . . 4 𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶)
65a1i 11 . . 3 (𝑈𝑉𝐽 Fn (𝐶 × 𝐶))
7 fldhmsubcALTV.f . . . . 5 𝐹 = (𝑟𝐷, 𝑠𝐷 ↦ (𝑟 RingHom 𝑠))
87, 4fnmpt2i 7128 . . . 4 𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷)
98a1i 11 . . 3 (𝑈𝑉𝐹 Fn (𝐷 × 𝐷))
10 drhmsubcALTV.c . . . 4 𝐶 = (𝑈 ∩ DivRing)
11 inex1g 4729 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ DivRing) ∈ V)
1210, 11syl5eqel 2692 . . 3 (𝑈𝑉𝐶 ∈ V)
13 df-field 18573 . . . . . 6 Field = (DivRing ∩ CRing)
14 inss1 3795 . . . . . 6 (DivRing ∩ CRing) ⊆ DivRing
1513, 14eqsstri 3598 . . . . 5 Field ⊆ DivRing
16 sslin 3801 . . . . 5 (Field ⊆ DivRing → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
1715, 16mp1i 13 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Field) ⊆ (𝑈 ∩ DivRing))
18 fldhmsubcALTV.d . . . 4 𝐷 = (𝑈 ∩ Field)
1917, 18, 103sstr4g 3609 . . 3 (𝑈𝑉𝐷𝐶)
202, 6, 9, 12, 19rescabs 16316 . 2 (𝑈𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) = ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹))
2110, 3, 18, 7fldcatALTV 41893 . 2 (𝑈𝑉 → ((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)
2220, 21eqeltrd 2688 1 (𝑈𝑉 → (((RingCatALTV‘𝑈) ↾cat 𝐽) ↾cat 𝐹) ∈ Cat)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Catccat 16148   ↾cat cresc 16291  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  DivRingcdr 18570  Fieldcfield 18571  RingCatALTVcringcALTV 41796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-cat 16152  df-cid 16153  df-homf 16154  df-ssc 16293  df-resc 16294  df-subc 16295  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-field 18573  df-ringcALTV 41798 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator