MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgplusg 17632
Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgplusg.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgplusg.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symgplusg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgplusg + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem symgplusg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgplusg.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2 symgplusg.2 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2symgbas 17623 . . . . 5 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
4 eqid 2610 . . . . 5 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
5 eqid 2610 . . . . 5 (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
61, 3, 4, 5symgval 17622 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
76fveq2d 6107 . . 3 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
8 symgplusg.3 . . 3 + = (+g𝐺)
9 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
102, 9eqeltri 2684 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1110, 10mpt2ex 7136 . . . 4 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V
12 eqid 2610 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
1312topgrpplusg 15867 . . . 4 ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
1411, 13ax-mp 5 . . 3 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
157, 8, 143eqtr4g 2669 . 2 (𝐴 ∈ V → + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)))
16 fvprc 6097 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
171, 16syl5eq 2656 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
1817fveq2d 6107 . . . 4 𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g‘∅))
19 plusgid 15804 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
2019str0 15739 . . . 4 ∅ = (+g‘∅)
2118, 8, 203eqtr4g 2669 . . 3 𝐴 ∈ V → + = ∅)
22 vex 3176 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
23 vex 3176 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
2422, 23coex 7011 . . . . . 6 (𝑓𝑔) ∈ V
254, 24fnmpt2i 7128 . . . . 5 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn (𝐵 × 𝐵)
2617fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
27 base0 15740 . . . . . . . . 9 ∅ = (Base‘∅)
2826, 2, 273eqtr4g 2669 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2928xpeq2d 5063 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
30 xp0 5471 . . . . . . 7 (𝐵 × ∅) = ∅
3129, 30syl6eq 2660 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
3231fneq2d 5896 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn ∅))
3325, 32mpbii 222 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn ∅)
34 fn0 5924 . . . 4 ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) Fn ∅ ↔ (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = ∅)
3533, 34sylib 207 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = ∅)
3621, 35eqtr4d 2647 . 2 𝐴 ∈ V → + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)))
3715, 36pm2.61i 175 1 + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {ctp 4129  cop 4131   × cxp 5036  ccom 5042   Fn wfn 5799  cfv 5804  cmpt2 6551  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  TopSetcts 15774  tcpt 15922  SymGrpcsymg 17620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-symg 17621
This theorem is referenced by:  symgov  17633  symgtset  17642  pgrpsubgsymg  17651  symgtgp  21715
  Copyright terms: Public domain W3C validator