MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplsubrglem 19260
Description: Lemma for mplsubrg 19261. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
mpllss.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplsubrglem.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplsubrglem.z 0 = (0g𝑅)
mplsubrglem.p 𝐴 = ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
mplsubrglem.t · = (.r𝑅)
mplsubrglem.x (𝜑𝑋𝑈)
mplsubrglem.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
mplsubrglem (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   0 ,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplsubrglem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2610 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
4 mpllss.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 mplsubg.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 mplsubg.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
75, 1, 6, 2mplbasss 19253 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
8 mplsubrglem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
97, 8sseldi 3566 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
10 mplsubrglem.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
117, 10sseldi 3566 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
121, 2, 3, 4, 9, 11psrmulcl 19209 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
13 ovex 6577 . . . 4 (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V
1413a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V)
151, 2psrelbasfun 19201 . . . 4 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
1612, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌))
17 mplsubrglem.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
18 fvex 6113 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
1917, 18eqeltri 2684 . . . 4 0 ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
21 mplsubrglem.p . . . . 5 𝐴 = ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
22 df-ima 5051 . . . . 5 ( ∘𝑓 + “ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
2321, 22eqtri 2632 . . . 4 𝐴 = ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
245, 1, 2, 17, 6mplelbas 19251 . . . . . . . 8 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp 0 ))
2524simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑋𝑈𝑋 finSupp 0 )
268, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 finSupp 0 )
275, 1, 2, 17, 6mplelbas 19251 . . . . . . . 8 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 finSupp 0 ))
2827simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑌𝑈𝑌 finSupp 0 )
2910, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 finSupp 0 )
30 fsuppxpfi 8175 . . . . . 6 ((𝑋 finSupp 0𝑌 finSupp 0 ) → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
3126, 29, 30syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin)
32 ofmres 7055 . . . . . . 7 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) = (𝑓 ∈ (𝑋 supp 0 ), 𝑔 ∈ (𝑌 supp 0 ) ↦ (𝑓𝑓 + 𝑔))
33 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ V
3432, 33fnmpt2i 7128 . . . . . 6 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))
35 dffn4 6034 . . . . . 6 (( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ↔ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
3634, 35mpbi 219 . . . . 5 ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))
37 fofi 8135 . . . . 5 ((((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∈ Fin ∧ ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))):((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))–onto→ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))) → ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3831, 36, 37sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) ∈ Fin)
3923, 38syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
40 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41 mplsubrglem.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
421, 40, 41, 2, 12psrelbas 19200 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌):𝐷⟶(Base‘𝑅))
43 mplsubrglem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
449adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
4511adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
46 eldifi 3694 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐷𝐴) → 𝑘𝐷)
4746adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑘𝐷)
481, 2, 43, 3, 41, 44, 45, 47psrmulval 19207 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
494ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
505, 40, 6, 41, 10mplelf 19254 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
5150ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
52 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
53 mplsubg.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝑊)
5453ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑊)
5547adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
56 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
57 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
5841, 57psrbagconcl 19194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑊𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
5954, 55, 56, 58syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
6052, 59sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
6151, 60ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
6240, 43, 17ringlz 18410 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
6349, 61, 62syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
64 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
6564eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑥) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ↔ ( 0 · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
6663, 65syl5ibrcom 236 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
675, 40, 6, 41, 8mplelf 19254 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6867ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6952, 56sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
7068, 69ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
7140, 43, 17ringrz 18411 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
7249, 70, 71syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 )
73 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥) · 0 ))
7473eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → (((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ↔ ((𝑋𝑥) · 0 ) = 0 ))
7572, 74syl5ibrcom 236 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 ))
7641psrbagf 19186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7754, 69, 76syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7877ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥𝑛) ∈ ℕ0)
7941psrbagf 19186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑊𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
8054, 55, 79syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
8180ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ0)
82 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
83 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑛) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
84 pncan3 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8582, 83, 84syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8678, 81, 85syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))) = (𝑘𝑛))
8786mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
88 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)) ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)) ∈ V)
9077feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
9180feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘 = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝑛)))
9254, 81, 78, 91, 90offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛))))
9354, 78, 89, 90, 92offval2 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) + ((𝑘𝑛) − (𝑥𝑛)))))
9487, 93, 913eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) = 𝑘)
95 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘 ∈ (𝐷𝐴))
9694, 95eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ (𝐷𝐴))
9796eldifbd 3553 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ¬ (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
98 ovres 6698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)))
99 fnovrn 6707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ ran ( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))))
10099, 23syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . . 13 ((( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 ))) Fn ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
10134, 100mp3an1 1403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥( ∘𝑓 + ↾ ((𝑋 supp 0 ) × (𝑌 supp 0 )))(𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
10298, 101eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → (𝑥𝑓 + (𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝐴)
10397, 102nsyl 134 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
104 ianor 508 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) ↔ (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
105103, 104sylib 207 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
106 eldif 3550 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ (𝑥𝐷 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
107106baib 942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐷 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
10869, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 )))
109 ssid 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋 supp 0 ) ⊆ (𝑋 supp 0 ))
111 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
11241, 111rabex2 4742 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ V
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
11419a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 0 ∈ V)
11568, 110, 113, 114suppssr 7213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 ))) → (𝑋𝑥) = 0 )
116115ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ (𝑋 supp 0 )) → (𝑋𝑥) = 0 ))
117108, 116sylbird 249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) → (𝑋𝑥) = 0 ))
118 eldif 3550 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ((𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷 ∧ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
119118baib 942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷 → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
12060, 119syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) ↔ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )))
121 ssid 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 )
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌 supp 0 ) ⊆ (𝑌 supp 0 ))
12351, 122, 113, 114suppssr 7213 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 ))) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 )
124123ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝐷 ∖ (𝑌 supp 0 )) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
125120, 124sylbird 249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 ) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
126117, 125orim12d 879 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((¬ 𝑥 ∈ (𝑋 supp 0 ) ∨ ¬ (𝑘𝑓𝑥) ∈ (𝑌 supp 0 )) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 )))
127105, 126mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) = 0 ∨ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = 0 ))
12866, 75, 127mpjaod 395 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = 0 )
129128mpteq2dva 4672 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 ))
130129oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥) · (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )))
1314adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
132 ringmnd 18379 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
133131, 132syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → 𝑅 ∈ Mnd)
13441psrbaglefi 19193 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
13553, 46, 134syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
13617gsumz 17197 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
137133, 135, 136syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ 0 )) = 0 )
13848, 130, 1373eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐷𝐴)) → ((𝑋(.r𝑆)𝑌)‘𝑘) = 0 )
13942, 138suppss 7212 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
140 suppssfifsupp 8173 . . 3 ((((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝐴)) → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
14114, 16, 20, 39, 139, 140syl32anc 1326 . 2 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 )
1425, 1, 2, 17, 6mplelbas 19251 . 2 ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑋(.r𝑆)𝑌) finSupp 0 ))
14312, 141, 142sylanbrc 695 1 (𝜑 → (𝑋(.r𝑆)𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643   × cxp 5036  ccnv 5037  ran crn 5039  cres 5040  cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  wf 5800  ontowfo 5802  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793  𝑟 cofr 6794   supp csupp 7182  𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  cc 9813   + caddc 9818  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Ringcrg 18370   mPwSer cmps 19172   mPoly cmpl 19174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-psr 19177  df-mpl 19179
This theorem is referenced by:  mplsubrg  19261
  Copyright terms: Public domain W3C validator