MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt2i Structured version   Unicode version

Theorem fnmpt2i 6850
Description: Functionality and domain of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fmpt2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
fnmpt2i.2  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fnmpt2i  |-  F  Fn  ( A  X.  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem fnmpt2i
StepHypRef Expression
1 fnmpt2i.2 . . 3  |-  C  e. 
_V
21rgen2w 2826 . 2  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  _V
3 fmpt2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
43fnmpt2 6849 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  _V  ->  F  Fn  ( A  X.  B
) )
52, 4ax-mp 5 1  |-  F  Fn  ( A  X.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    X. cxp 4997    Fn wfn 5581    |-> cmpt2 6284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782
This theorem is referenced by:  dmmpt2  6851  fnoa  7155  fnom  7156  fnoe  7157  fnmap  7424  fnpm  7425  cdafn  8545  addpqnq  9312  mulpqnq  9315  elq  11180  cnref1o  11211  ccatfn  12552  qnnen  13804  restfn  14676  prdsdsfn  14716  imasdsfn  14765  imasvscafn  14788  homffn  14945  comfffn  14956  comffn  14957  isoval  15016  cofucl  15111  fnfuc  15168  natffn  15172  catcisolem  15287  fnxpc  15299  1stfcl  15320  2ndfcl  15321  prfcl  15326  evlfcl  15345  curf1cl  15351  curfcl  15355  hofcl  15382  yonedalem3  15403  yonedainv  15404  plusffn  15743  mulgfval  15943  mulgfn  15945  gimfn  16104  symgplusg  16209  sylow2blem2  16437  scaffn  17316  lmimfn  17455  mplsubrglem  17871  mplsubrglemOLD  17872  ipffn  18453  tx1stc  19886  tx2ndc  19887  hmeofn  19993  symgtgp  20335  divstgplem  20354  nmoffn  20953  rrxmfval  21568  mbfimaopnlem  21797  i1fadd  21837  i1fmul  21838  txomap  27500  qtophaus  27637  dya2icoseg  27888  dya2iocrfn  27890  fncvm  28342  cntotbnd  29895
  Copyright terms: Public domain W3C validator