Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmidm 17900
 Description: Subgroup sum is idempotent. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmidm (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem lsmidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmub1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmval 17886 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
54anidms 675 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
62subgcl 17427 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
763expb 1258 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
87ralrimivva 2954 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
109fmpt2 7126 . . . . 5 (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
118, 10sylib 207 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
12 frn 5966 . . . 4 ((𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈 → ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
145, 13eqsstrd 3602 . 2 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) ⊆ 𝑈)
153lsmub1 17894 . . 3 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1615anidms 675 . 2 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1714, 16eqssd 3585 1 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   × cxp 5036  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-lsm 17874 This theorem is referenced by:  lsmlub  17901  lspabs2  18941  lspabs3  18942  lsatcv0eq  33352  lsatcv1  33353  lsatcvat3  33357  dia2dimlem13  35383  dihjatcclem1  35725  dvh3dimatN  35746  dvh2dimatN  35747  mapdindp0  36026  mapdh6dN  36046  hdmap1l6d  36121
 Copyright terms: Public domain W3C validator