Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccordt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccordt 20828
 Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccordt (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))

Proof of Theorem iccordt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6552 . 2 (𝐴[,]𝐵) = ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 letsr 17050 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
3 ledm 17047 . . . . . . 7 * = dom ≤
43ordtcld3 20813 . . . . . 6 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
52, 4mp3an1 1403 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
65rgen2a 2960 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
7 df-icc 12053 . . . . 5 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
87fmpt2 7126 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )) ↔ [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
96, 8mpbi 219 . . 3 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
10 letop 20820 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
11 0cld 20652 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
139, 12f0cli 6278 . 2 ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
141, 13eqeltri 2684 1 (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049  ordTopcordt 15982   TosetRel ctsr 17022  Topctop 20517  Clsdccld 20630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-icc 12053  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633 This theorem is referenced by:  lecldbas  20833
 Copyright terms: Public domain W3C validator