MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccordt Structured version   Unicode version

Theorem iccordt 18943
Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccordt  |-  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) )

Proof of Theorem iccordt
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6196 . 2  |-  ( A [,] B )  =  ( [,] `  <. A ,  B >. )
2 letsr 15508 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
3 ledm 15505 . . . . . . 7  |-  RR*  =  dom  <_
43ordtcld3 18928 . . . . . 6  |-  ( (  <_  e.  TosetRel  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) ) )
52, 4mp3an1 1302 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) ) )
65rgen2a 2893 . . . 4  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
7 df-icc 11411 . . . . 5  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
87fmpt2 6744 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )  <->  [,] : ( RR*  X. 
RR* ) --> ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) ) )
96, 8mpbi 208 . . 3  |-  [,] :
( RR*  X.  RR* ) --> ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
10 letop 18935 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
11 0cld 18767 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  (/)  e.  (
Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
139, 12f0cli 5956 . 2  |-  ( [,] `  <. A ,  B >. )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
141, 13eqeltri 2535 1  |-  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799   (/)c0 3738   <.cop 3984   class class class wbr 4393    X. cxp 4939   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RR*cxr 9521    <_ cle 9523   [,]cicc 11407  ordTopcordt 14548    TosetRel ctsr 15480   Topctop 18623   Clsdccld 18745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-icc 11411  df-topgen 14493  df-ordt 14550  df-ps 15481  df-tsr 15482  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-cld 18748
This theorem is referenced by:  lecldbas  18948
  Copyright terms: Public domain W3C validator