MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccordt Structured version   Unicode version

Theorem iccordt 20214
Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccordt  |-  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) )

Proof of Theorem iccordt
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6304 . 2  |-  ( A [,] B )  =  ( [,] `  <. A ,  B >. )
2 letsr 16458 . . . . . 6  |-  <_  e.  TosetRel
3 ledm 16455 . . . . . . 7  |-  RR*  =  dom  <_
43ordtcld3 20199 . . . . . 6  |-  ( (  <_  e.  TosetRel  /\  x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) ) )
52, 4mp3an1 1347 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) ) )
65rgen2a 2852 . . . 4  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
7 df-icc 11642 . . . . 5  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
87fmpt2 6870 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )  <->  [,] : ( RR*  X. 
RR* ) --> ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) ) )
96, 8mpbi 211 . . 3  |-  [,] :
( RR*  X.  RR* ) --> ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
10 letop 20206 . . . 4  |-  (ordTop `  <_  )  e.  Top
11 0cld 20037 . . . 4  |-  ( (ordTop `  <_  )  e.  Top  -> 
(/)  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  (/)  e.  (
Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
139, 12f0cli 6044 . 2  |-  ( [,] `  <. A ,  B >. )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  <_  ) )
141, 13eqeltri 2506 1  |-  ( A [,] B )  e.  ( Clsd `  (ordTop ` 
<_  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    e. wcel 1868   A.wral 2775   {crab 2779   (/)c0 3761   <.cop 4002   class class class wbr 4420    X. cxp 4847   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RR*cxr 9674    <_ cle 9676   [,]cicc 11638  ordTopcordt 15382    TosetRel ctsr 16430   Topctop 19901   Clsdccld 20015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-icc 11642  df-topgen 15327  df-ordt 15384  df-ps 16431  df-tsr 16432  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-cld 20018
This theorem is referenced by:  lecldbas  20219
  Copyright terms: Public domain W3C validator