Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matbas2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matbas2d 20048
 Description: The base set of the matrix ring as a mapping operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matbas2d.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
matbas2d.r (𝜑𝑅𝑉)
matbas2d.c ((𝜑𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
matbas2d (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem matbas2d
StepHypRef Expression
1 matbas2d.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝐶𝐾)
213expb 1258 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → 𝐶𝐾)
32ralrimivva 2954 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 𝐶𝐾)
4 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶)
54fmpt2 7126 . . 3 (∀𝑥𝑁𝑦𝑁 𝐶𝐾 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
63, 5sylib 207 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
7 matbas2d.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 matbas2d.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑉)
9 matbas2.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10 matbas2.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
119, 10matbas2 20046 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
127, 8, 11syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
13 matbas2i.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
1412, 13syl6reqr 2663 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
1514eleq2d 2673 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁))))
16 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
1710, 16eqeltri 2684 . . . 4 𝐾 ∈ V
18 xpexg 6858 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
197, 7, 18syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
20 elmapg 7757 . . . 4 ((𝐾 ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
2117, 19, 20sylancr 694 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
2215, 21bitrd 267 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾))
236, 22mpbird 246 1 (𝜑 → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁𝐶) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  Basecbs 15695   Mat cmat 20032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033 This theorem is referenced by:  mpt2matmul  20071  dmatmulcl  20125  scmatscmiddistr  20133  marrepcl  20189  marepvcl  20194  submabas  20203  mdetrsca2  20229  mdetr0  20230  mdetrlin2  20232  mdetralt2  20234  mdetero  20235  mdetunilem2  20238  mdetunilem5  20241  mdetunilem6  20242  maduf  20266  madutpos  20267  marep01ma  20285  mat2pmatbas  20350  mat2pmatghm  20354  cpm2mf  20376  m2cpminvid  20377  m2cpminvid2  20379  m2cpmfo  20380  decpmatcl  20391  decpmatmul  20396  pmatcollpw1  20400  pmatcollpw2  20402  monmatcollpw  20403  pmatcollpwlem  20404  pmatcollpw  20405  pmatcollpw3lem  20407  pmatcollpwscmatlem2  20414  pm2mpf1  20423  mply1topmatcl  20429  mp2pm2mplem2  20431  mp2pm2mplem4  20433  pm2mpghm  20440  lmatcl  29210  mdetpmtr1  29217  mdetpmtr2  29218  mdetpmtr12  29219  madjusmdetlem1  29221  madjusmdetlem3  29223
 Copyright terms: Public domain W3C validator