Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatcl 29210
Description: Closure of the literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatcl.b 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmatcl.1 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
lmatcl.2 𝑃 = (Base‘𝑂)
lmatcl.r (𝜑𝑅𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmatcl (𝜑𝑀𝑃)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑖)   𝑅(𝑖)   𝑂(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem lmatcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
3 lmatval 29207 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word Word 𝑉 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (litMat‘𝑊) = (𝑘 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
51, 4syl5eq 2656 . . 3 (𝜑𝑀 = (𝑘 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
6 lmatfval.1 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝑁)
76oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (1...(#‘𝑊)) = (1...𝑁))
8 lmatfval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 lbfzo0 12375 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
108, 9sylibr 223 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
11 0nn0 11184 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
13 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
1413eleq1d 2672 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ 0 ∈ (0..^𝑁)))
1513fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
1615fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (#‘(𝑊𝑖)) = (#‘(𝑊‘0)))
1716eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
1814, 17imbi12d 333 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)))
19 lmatfval.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
2019ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁))
2112, 18, 20vtocld 3230 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑊‘0)) = 𝑁)
2322oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (1...(#‘(𝑊‘0))) = (1...𝑁))
24 eqidd 2611 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) = ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)))
257, 23, 24mpt2eq123dv 6615 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...(#‘𝑊)), 𝑗 ∈ (1...(#‘(𝑊‘0))) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
265, 25eqtrd 2644 . 2 (𝜑𝑀 = (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))))
27 lmatcl.1 . . 3 𝑂 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
28 lmatcl.b . . 3 𝑉 = (Base‘𝑅)
29 lmatcl.2 . . 3 𝑃 = (Base‘𝑂)
30 fzfid 12634 . . 3 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
31 lmatcl.r . . 3 (𝜑𝑅𝑋)
3223ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
33 simp2 1055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
34 fz1fzo0m1 12383 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁))
3663ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (#‘𝑊) = 𝑁)
3736oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝑁))
3835, 37eleqtrrd 2691 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
39 wrdsymbcl 13173 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word Word 𝑉 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
4032, 38, 39syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉)
41 simp3 1056 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
42 fz1fzo0m1 12383 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^𝑁))
44 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 − 1) ∈ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 − 1) ∈ V)
46 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → 𝑖 = (𝑘 − 1))
47 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (0..^𝑁) = (0..^𝑁))
4846, 47eleq12d 2682 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)))
4946fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝑘 − 1)))
5049fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → (#‘(𝑊𝑖)) = (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))
5150eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁 ↔ (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
5248, 51imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = (𝑘 − 1)) → ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊𝑖)) = 𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)))
5345, 52, 20vtocld 3230 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁))
5453imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 − 1) ∈ (0..^𝑁)) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
5534, 54sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
56553adant3 1074 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))) = 𝑁)
5756oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0..^(#‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))) = (0..^𝑁))
5843, 57eleqtrrd 2691 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝑘 − 1)))))
59 wrdsymbcl 13173 . . . 4 (((𝑊‘(𝑘 − 1)) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(#‘(𝑊‘(𝑘 − 1))))) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
6040, 58, 59syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1)) ∈ 𝑉)
6127, 28, 29, 30, 31, 60matbas2d 20048 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑊‘(𝑘 − 1))‘(𝑗 − 1))) ∈ 𝑃)
6226, 61eqeltrd 2688 1 (𝜑𝑀𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Basecbs 15695   Mat cmat 20032  litMatclmat 29205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033  df-lmat 29206
This theorem is referenced by:  lmat22det  29216
  Copyright terms: Public domain W3C validator