MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matbas2d Structured version   Unicode version

Theorem matbas2d 18435
Description: The base set of the matrix ring as a mapping operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matbas2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matbas2i.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matbas2d.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
matbas2d.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
matbas2d.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  C  e.  K )
Assertion
Ref Expression
matbas2d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )  e.  B
)
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, N, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y)    R( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem matbas2d
StepHypRef Expression
1 matbas2d.c . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  N  /\  y  e.  N
)  ->  C  e.  K )
213expb 1189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  N  /\  y  e.  N ) )  ->  C  e.  K )
32ralrimivva 2906 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  N  A. y  e.  N  C  e.  K )
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )
54fmpt2 6743 . . 3  |-  ( A. x  e.  N  A. y  e.  N  C  e.  K  <->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C ) : ( N  X.  N
) --> K )
63, 5sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C ) : ( N  X.  N ) --> K )
7 matbas2d.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
8 matbas2d.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
9 matbas2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
10 matbas2.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  R
)
119, 10matbas2 18433 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( K  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
127, 8, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
13 matbas2i.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
1412, 13syl6reqr 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1514eleq2d 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )  e.  B  <->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )
16 fvex 5801 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
1710, 16eqeltri 2535 . . . 4  |-  K  e. 
_V
18 xpexg 6609 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  _V )
197, 7, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  X.  N
)  e.  _V )
20 elmapg 7329 . . . 4  |-  ( ( K  e.  _V  /\  ( N  X.  N
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) )  <-> 
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C ) : ( N  X.  N ) --> K ) )
2117, 19, 20sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) )  <-> 
( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C ) : ( N  X.  N ) --> K ) )
2215, 21bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )  e.  B  <->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C ) : ( N  X.  N
) --> K ) )
236, 22mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  C )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070    X. cxp 4938   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194    ^m cmap 7316   Fincfn 7412   Basecbs 14278   Mat cmat 18391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-prds 14490  df-pws 14492  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-dsmm 18268  df-frlm 18283  df-mat 18393
This theorem is referenced by:  marrepcl  18488  marepvcl  18493  submabas  18502  mdetrsca2  18528  mdetr0  18529  mdetrlin2  18531  mdetralt2  18533  mdetero  18534  mdetunilem2  18537  mdetunilem5  18540  mdetunilem6  18541  maduf  18565  madutpos  18566  marep01ma  18584  mpt2matmul  31018  dmatmulcl  31035  scmatmulcl  31042  mat2pmatbas  31191  mat2pmatghm  31195  m2pminv  31213  m2pminv2  31215  m2cpmfo  31217  m2cpminvf  31222  pmatcollpw1lem2  31226  pmatcollpw1dst  31230  pmatcollpw1  31234  pmatcollpw  31236  monmatcollpw  31238  pmatcollpw3lem  31239  pmatcollpw3  31240  pmatcollpw4  31242  pmatcollpw4fi  31243  pmatcollpwscmatlem3  31249  mply1topmatcl  31254  mp2pm2mplem2  31264  mp2pm2mplem4  31266  pmattomply1f1  31269  pmattomply1ghm  31272  cpmadumatpolylem1  31337  cpmadumatpolylem3  31339
  Copyright terms: Public domain W3C validator