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Theorem xrsxmet 22420
Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsxmet 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)

Proof of Theorem xrsxmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 11705 . . . 4 * ∈ V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ* ∈ V)
3 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 11918 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 11944 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
63, 4, 5syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
7 xnegcl 11918 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
8 xaddcl 11944 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ∈ ℝ*)
97, 8sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ∈ ℝ*)
106, 9ifcld 4081 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*)
1110rgen2a 2960 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*
12 xrsxmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
1312xrsds 19608 . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
1413fmpt2 7126 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
1511, 14mpbi 219 . . . 4 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
1615a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
17 breq2 4587 . . . . . 6 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))))
18 breq2 4587 . . . . . 6 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))))
19 xsubge0 11963 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 𝑥𝑦))
2019ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 𝑥𝑦))
2120biimpar 501 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))
22 xrletri 11860 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
2322orcanai 950 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
24 xsubge0 11963 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ 𝑦𝑥))
2524biimpar 501 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦𝑥) → 0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
2623, 25syldan 486 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
2717, 18, 21, 26ifbothda 4073 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
2812xrsdsval 19609 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
2927, 28breqtrrd 4611 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
3029adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
3129biantrud 527 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
3228, 10eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
33 0xr 9965 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
34 xrletri3 11861 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
3532, 33, 34sylancl 693 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
36 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
37 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
38 0re 9919 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
3937, 38syl6eqel 2696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
4012xrsdsreclb 19612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑥𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
41403expa 1257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
4241adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
4339, 42mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
4443simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
4544recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
4643simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
4746recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
48 rexsub 11938 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = (𝑥𝑦))
4943, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = (𝑥𝑦))
5028eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
5150biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0)
53 xneg11 11920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0))
546, 33, 53sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0))
55 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
57 xnegdi 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥))
5855, 56, 57syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥))
59 xnegneg 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
6160oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥))
627adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
63 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
64 xaddcom 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
6562, 63, 64syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
6658, 61, 653eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
67 xneg0 11917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒0 = 0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒0 = 0)
6966, 68eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7054, 69bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7170ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
72 biidd 251 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
73 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
7473bibi1d 332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ↔ (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)))
75 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
7675bibi1d 332 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ↔ (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)))
7774, 76ifboth 4074 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ∧ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7871, 72, 77syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7952, 78mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)
8049, 79eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) = 0)
8145, 47, 80subeq0d 10279 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
8236, 81pm2.61dane 2869 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) → 𝑥 = 𝑦)
8382ex 449 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
8412xrsdsval 19609 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑦) = if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)))
8584anidms 675 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦𝐷𝑦) = if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)))
86 xrleid 11859 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦𝑦)
8786iftrued 4044 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦))
88 xnegid 11943 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)
8985, 87, 883eqtrd 2648 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
9089adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
91 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑦))
9291eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑦) = 0))
9390, 92syl5ibrcom 236 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = 0))
9483, 93impbid 201 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9531, 35, 943bitr2d 295 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9695adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
97 simplrr 797 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
9897leidd 10473 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ≤ (𝑧𝐷𝑦))
99 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
10099oveq1d 6564 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
10199oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑥𝐷𝑥))
102 simpll1 1093 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
103 oveq12 6558 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑥))
104103anidms 675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑥))
105104eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
106105, 89vtoclga 3245 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
107102, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
108101, 107eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑥) = 0)
109108oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = (0 + (𝑧𝐷𝑦)))
11097recnd 9947 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℂ)
111110addid2d 10116 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (0 + (𝑧𝐷𝑦)) = (𝑧𝐷𝑦))
112109, 111eqtr2d 2645 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
11398, 100, 1123brtr3d 4614 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
114 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
115114oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑦𝐷𝑥))
116 simplrl 796 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
117115, 116eqeltrrd 2689 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
118117leidd 10473 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ≤ (𝑦𝐷𝑥))
119 simpll1 1093 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
120 simpll2 1094 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
121 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦𝐷𝑥) = (𝑦𝐷𝑦))
12291, 121eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
123122adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
124 eqeq2 2621 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))))
125 eqeq2 2621 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))))
126 xrleloe 11853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
127126adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
128 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
129128neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
130 biorf 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦)))
131 orcom 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦))
132130, 131syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
133129, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
134 xrltnle 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
136127, 133, 1353bitr2d 295 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
137136con2bid 343 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
138137biimpa 500 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑥𝑦)
139138iffalsed 4047 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑦𝑥) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
140136biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
141140iftrued 4044 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))
142124, 125, 139, 141ifbothda 4073 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
14328adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
14412xrsdsval 19609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
145144ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
146145adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
147142, 143, 1463eqtr4d 2654 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
148123, 147pm2.61dane 2869 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
149119, 120, 148syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
150114oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑦))
151120, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
152150, 151eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑦) = 0)
153115, 152oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑦𝐷𝑥) + 0))
154117recnd 9947 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℂ)
155154addid1d 10115 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑦𝐷𝑥) + 0) = (𝑦𝐷𝑥))
156153, 155eqtrd 2644 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = (𝑦𝐷𝑥))
157118, 149, 1563brtr4d 4615 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
158 simplrl 796 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
159 simpll3 1095 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
160 simpll1 1093 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
161 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧𝑥)
16212xrsdsreclb 19612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧𝑥) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
163159, 160, 161, 162syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
164158, 163mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
165164simprd 478 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
166165recnd 9947 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
167 simplrr 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
168 simpll2 1094 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
169 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧𝑦)
17012xrsdsreclb 19612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧𝑦) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
171159, 168, 169, 170syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
172167, 171mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
173172simprd 478 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
174173recnd 9947 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
175164simpld 474 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
176175recnd 9947 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
177166, 174, 176abs3difd 14047 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
17812xrsdsreval 19610 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
179165, 173, 178syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
18012xrsdsreval 19610 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
181164, 180syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
182176, 166abssubd 14040 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (abs‘(𝑧𝑥)) = (abs‘(𝑥𝑧)))
183181, 182eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥𝑧)))
18412xrsdsreval 19610 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
185172, 184syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
186183, 185oveq12d 6567 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
187177, 179, 1863brtr4d 4615 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
188113, 157, 187pm2.61da2ne 2870 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1891883adant1 1072 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1902, 16, 30, 96, 189isxmet2d 21942 . 2 (⊤ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
191190trud 1484 1 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wtru 1476  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  Vcvv 3173  ifcif 4036   class class class wbr 4583   × cxp 5036  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -𝑒cxne 11819   +𝑒 cxad 11820  abscabs 13822  distcds 15777  *𝑠cxrs 15983  ∞Metcxmt 19552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-xrs 15985  df-xmet 19560
This theorem is referenced by:  xrsdsre  22421  xrsblre  22422  xrsmopn  22423  metdcnlem  22447  xmetdcn2  22448  xmetdcn  22449  metdscn  22467  metdscn2  22468
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