Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  midf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem midf 25468
 Description: Midpoint as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
midf (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Proof of Theorem midf
Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5 ismid.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 eqid 2610 . . . . . 6 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
8 simprl 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑎𝑃)
9 simprr 792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑏𝑃)
10 ismid.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11mideu 25430 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
1312ralrimivva 2954 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
14 riotacl 6525 . . . . . 6 (∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
1514ralimi 2936 . . . . 5 (∀𝑏𝑃 ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → ∀𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
1615ralimi 2936 . . . 4 (∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
1713, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
18 eqid 2610 . . . 4 (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
1918fmpt2 7126 . . 3 (∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃 ↔ (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
2017, 19sylib 207 . 2 (𝜑 → (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
21 df-mid 25466 . . . . 5 midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 → midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)))))
23 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
2423, 1syl6eqr 2662 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
25 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
2625fveq1d 6105 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚))
2726fveq1d 6105 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
2827eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
2924, 28riotaeqbidv 6514 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
3024, 24, 29mpt2eq123dv 6615 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
3130adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
32 elex 3185 . . . . 5 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
335, 32syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
34 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
351, 34eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
3635, 35mpt2ex 7136 . . . . 5 (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
3822, 31, 33, 37fvmptd 6197 . . 3 (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
3938feq1d 5943 . 2 (𝜑 → ((midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃 ↔ (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃))
4020, 39mpbird 246 1 (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃!wreu 2898  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℩crio 6510   ↦ cmpt2 6551  2c2 10947  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  pInvGcmir 25347  midGcmid 25464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391  df-mid 25466 This theorem is referenced by:  midcl  25469
 Copyright terms: Public domain W3C validator