MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem fmpt2 6636
Description: Functionality, domain and range of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
fmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, D, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem fmpt2
StepHypRef Expression
1 fmpt2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21fmpt2x 6635 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) --> D )
3 iunxpconst 4890 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  =  ( A  X.  B )
43feq2i 5547 . 2  |-  ( F : U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) --> D  <-> 
F : ( A  X.  B ) --> D )
52, 4bitri 249 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {csn 3872   U_ciun 4166    X. cxp 4833   -->wf 5409    e. cmpt2 6088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573
This theorem is referenced by:  fnmpt2  6637  fmpt2co  6651  eroprf  7190  omxpenlem  7404  mapxpen  7469  dffi3  7673  ixpiunwdom  7798  cantnfvalf  7865  iunfictbso  8276  axdc4lem  8616  axcclem  8618  addpqf  9105  mulpqf  9107  subf  9604  xaddf  11186  xmulf  11227  ixxf  11302  ioof  11379  fzf  11433  fzof  11542  axdc4uzlem  11796  sadcf  13641  smupf  13666  gcdf  13695  eucalgf  13750  vdwapf  14025  prdsval  14385  prdsplusg  14388  prdsmulr  14389  prdsvsca  14390  prdsds  14394  prdshom  14397  imasvscaf  14469  xpsff1o  14498  wunnat  14858  catcoppccl  14968  catcfuccl  14969  catcxpccl  15009  evlfcl  15024  hofcl  15061  plusffval  15419  mndplusf  15423  grpsubf  15596  subgga  15809  lactghmga  15900  sylow1lem2  16089  sylow3lem1  16117  lsmssv  16133  lsmidm  16152  efgmf  16201  efgtf  16210  frgpuptf  16258  scaffval  16944  lmodscaf  16948  evlslem2  17572  xrsds  17831  ipffval  18052  phlipf  18056  mamucl  18276  mamudiagcl  18277  matbas2d  18299  ordtbas2  18770  iccordt  18793  txuni2  19113  xkotf  19133  txbasval  19154  tx1stc  19198  xkococn  19208  cnmpt12  19215  cnmpt21  19219  cnmpt2t  19221  cnmpt22  19222  cnmptcom  19226  cnmpt2k  19236  txswaphmeo  19353  xpstopnlem1  19357  cnmpt2plusg  19634  cnmpt2vsca  19744  prdsdsf  19917  blfvalps  19933  blfps  19956  blf  19957  stdbdmet  20066  met2ndci  20072  dscmet  20140  xrsxmet  20361  cnmpt2ds  20395  cnmpt2pc  20475  iimulcn  20485  ishtpy  20519  reparphti  20544  cnmpt2ip  20735  bcthlem5  20814  rrxmet  20882  dyadf  21046  itg1addlem2  21150  mbfi1fseqlem1  21168  mbfi1fseqlem3  21170  mbfi1fseqlem4  21171  mbfi1fseqlem5  21172  cxpcn3  22161  sgmf  22458  grpodivf  23684  nvmf  23977  ipf  24062  hvsubf  24368  ofoprabco  25933  sseqfv2  26729  cvxscon  27084  cvmlift2lem5  27148  mblfinlem1  28381  mblfinlem2  28382  sdclem1  28592  metf1o  28604  rrnval  28679  rrnmet  28681  frmx  29207  frmy  29208
  Copyright terms: Public domain W3C validator