MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem fmpt2 6874
Description: Functionality, domain and range of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
fmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, D, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem fmpt2
StepHypRef Expression
1 fmpt2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21fmpt2x 6873 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) --> D )
3 iunxpconst 4911 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  =  ( A  X.  B )
43feq2i 5739 . 2  |-  ( F : U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) --> D  <-> 
F : ( A  X.  B ) --> D )
52, 4bitri 252 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {csn 4002   U_ciun 4302    X. cxp 4852   -->wf 5597    |-> cmpt2 6307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808
This theorem is referenced by:  fnmpt2  6875  ovmpt2elrn  6878  fmpt2co  6890  eroprf  7469  omxpenlem  7679  mapxpen  7744  dffi3  7951  ixpiunwdom  8106  cantnfvalf  8169  iunfictbso  8543  axdc4lem  8883  axcclem  8885  addpqf  9368  mulpqf  9370  subf  9876  xaddf  11517  xmulf  11558  ixxf  11645  ioof  11732  fzf  11786  fzof  11915  axdc4uzlem  12192  sadcf  14401  smupf  14426  gcdf  14457  eucalgf  14513  vdwapf  14885  prdsval  15312  prdsplusg  15315  prdsmulr  15316  prdsvsca  15317  prdsds  15321  prdshom  15324  imasvscaf  15396  xpsff1o  15425  wunnat  15812  catcoppccl  15954  catcfuccl  15955  catcxpccl  16043  evlfcl  16058  hofcl  16095  plusffval  16444  mgmplusf  16448  grpsubf  16684  subgga  16905  lactghmga  16996  sylow1lem2  17186  sylow3lem1  17214  lsmssv  17230  lsmidm  17249  efgmf  17298  efgtf  17307  frgpuptf  17355  scaffval  18044  lmodscaf  18048  evlslem2  18670  xrsds  18946  ipffval  19146  phlipf  19150  mamucl  19357  matbas2d  19379  mamumat1cl  19395  ordtbas2  20138  iccordt  20161  txuni2  20511  xkotf  20531  txbasval  20552  tx1stc  20596  xkococn  20606  cnmpt12  20613  cnmpt21  20617  cnmpt2t  20619  cnmpt22  20620  cnmptcom  20624  cnmpt2k  20634  txswaphmeo  20751  xpstopnlem1  20755  cnmpt2plusg  21034  cnmpt2vsca  21140  prdsdsf  21313  blfvalps  21329  blfps  21352  blf  21353  stdbdmet  21462  met2ndci  21468  dscmet  21518  xrsxmet  21738  cnmpt2ds  21772  cnmpt2pc  21852  iimulcn  21862  ishtpy  21896  reparphti  21921  cnmpt2ip  22112  bcthlem5  22189  rrxmet  22255  dyadf  22426  itg1addlem2  22532  mbfi1fseqlem1  22550  mbfi1fseqlem3  22552  mbfi1fseqlem4  22553  mbfi1fseqlem5  22554  cxpcn3  23553  sgmf  23935  midf  24674  grpodivf  25819  nvmf  26112  ipf  26197  hvsubf  26503  ofoprabco  28107  sseqfv2  29053  cvxscon  29754  cvmlift2lem5  29818  mblfinlem1  31680  mblfinlem2  31681  sdclem1  31775  metf1o  31787  rrnval  31862  rrnmet  31864  frmx  35466  frmy  35467
  Copyright terms: Public domain W3C validator