MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem fmpt2 6848
Description: Functionality, domain and range of a class given by the "maps to" notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
fmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, D, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem fmpt2
StepHypRef Expression
1 fmpt2.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21fmpt2x 6847 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
) --> D )
3 iunxpconst 5055 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  =  ( A  X.  B )
43feq2i 5722 . 2  |-  ( F : U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) --> D  <-> 
F : ( A  X.  B ) --> D )
52, 4bitri 249 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  D  <->  F : ( A  X.  B ) --> D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {csn 4027   U_ciun 4325    X. cxp 4997   -->wf 5582    |-> cmpt2 6284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782
This theorem is referenced by:  fnmpt2  6849  fmpt2co  6863  eroprf  7406  omxpenlem  7615  mapxpen  7680  dffi3  7887  ixpiunwdom  8013  cantnfvalf  8080  iunfictbso  8491  axdc4lem  8831  axcclem  8833  addpqf  9318  mulpqf  9320  subf  9818  xaddf  11419  xmulf  11460  ixxf  11535  ioof  11618  fzf  11672  fzof  11790  axdc4uzlem  12056  sadcf  13958  smupf  13983  gcdf  14012  eucalgf  14067  vdwapf  14345  prdsval  14706  prdsplusg  14709  prdsmulr  14710  prdsvsca  14711  prdsds  14715  prdshom  14718  imasvscaf  14790  xpsff1o  14819  wunnat  15179  catcoppccl  15289  catcfuccl  15290  catcxpccl  15330  evlfcl  15345  hofcl  15382  plusffval  15740  mndplusf  15744  grpsubf  15918  subgga  16133  lactghmga  16224  sylow1lem2  16415  sylow3lem1  16443  lsmssv  16459  lsmidm  16478  efgmf  16527  efgtf  16536  frgpuptf  16584  scaffval  17313  lmodscaf  17317  evlslem2  17951  xrsds  18229  ipffval  18450  phlipf  18454  mamucl  18670  matbas2d  18692  mamumat1cl  18708  ordtbas2  19458  iccordt  19481  txuni2  19801  xkotf  19821  txbasval  19842  tx1stc  19886  xkococn  19896  cnmpt12  19903  cnmpt21  19907  cnmpt2t  19909  cnmpt22  19910  cnmptcom  19914  cnmpt2k  19924  txswaphmeo  20041  xpstopnlem1  20045  cnmpt2plusg  20322  cnmpt2vsca  20432  prdsdsf  20605  blfvalps  20621  blfps  20644  blf  20645  stdbdmet  20754  met2ndci  20760  dscmet  20828  xrsxmet  21049  cnmpt2ds  21083  cnmpt2pc  21163  iimulcn  21173  ishtpy  21207  reparphti  21232  cnmpt2ip  21423  bcthlem5  21502  rrxmet  21570  dyadf  21735  itg1addlem2  21839  mbfi1fseqlem1  21857  mbfi1fseqlem3  21859  mbfi1fseqlem4  21860  mbfi1fseqlem5  21861  cxpcn3  22850  sgmf  23147  midf  23819  grpodivf  24924  nvmf  25217  ipf  25302  hvsubf  25608  ofoprabco  27177  sseqfv2  27973  cvxscon  28328  cvmlift2lem5  28392  mblfinlem1  29628  mblfinlem2  29629  sdclem1  29839  metf1o  29851  rrnval  29926  rrnmet  29928  frmx  30453  frmy  30454  mgmplusgiop  31961
  Copyright terms: Public domain W3C validator