Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0xaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xaddlem1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.ltb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.ltc (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.xr (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
sge0xaddlem1.sb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem1.sc (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0xaddlem1 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐸(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1830 . . . . 5 𝑘𝜑
2 sge0xaddlem1.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3 sge0xaddlem1.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
41, 2, 3sge0revalmpt 39271 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
5 sge0xaddlem1.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61, 2, 5sge0revalmpt 39271 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
74, 6oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
84eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
9 sge0xaddlem1.sb . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
108, 9eqeltrd 2688 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11 sge0xaddlem1.sc . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
126, 11eqeltrrd 2689 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ)
1413rexrd 9968 . . 3 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
157, 14eqeltrd 2688 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ∈ ℝ*)
16 elinel2 3762 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
18 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
19 elpwinss 38241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
21 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
2220, 21sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
2322adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
24 rge0ssre 12151 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2524, 3sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2618, 23, 25syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
2724, 5sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2818, 23, 27syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
2926, 28readdcld 9948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
3017, 29fsumrecl 14312 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
3130rexrd 9968 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
3231ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
33 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶))
3433rnmptss 6299 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
3532, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
36 supxrcl 12017 . . . 4 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3735, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
38 sge0xaddlem1.rp . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3938rpxrd 11749 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
4037, 39xaddcld 12003 . 2 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41 sge0xaddlem1.ufi . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
42 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝜑)
43 sge0xaddlem1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐴)
4443sselda 3568 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐴)
4542, 44, 3syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4624, 45sseldi 3566 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐵 ∈ ℝ)
4741, 46fsumrecl 14312 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐵 ∈ ℝ)
4838rpred 11748 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
4948rehalfcld 11156 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
5047, 49readdcld 9948 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
51 sge0xaddlem1.wfi . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
5224a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑊) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
53 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝜑)
54 sge0xaddlem1.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝐴)
5554adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑊𝐴)
56 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑊)
5755, 56sseldd 3569 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝐴)
5853, 57, 5syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
5952, 58sseldd 3569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐶 ∈ ℝ)
6051, 59fsumrecl 14312 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐶 ∈ ℝ)
6160, 49readdcld 9948 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
6250, 61readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
6362rexrd 9968 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ*)
64 sge0xaddlem1.ltb . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
65 sge0xaddlem1.ltc . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
669, 11, 50, 61, 64, 65ltadd12dd 38500 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) < ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))))
6747recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐵 ∈ ℂ)
6849recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
6960recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐶 ∈ ℂ)
7067, 68, 69, 68add4d 10143 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))))
7148recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
72712halvesd 11155 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
7372oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸))
7470, 73eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸))
7574, 63eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ*)
76 pnfxr 9971 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
7776a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
7874, 62eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ)
79 ltpnf 11830 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
8175, 77, 80xrltled 38427 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
8281adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
83 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
8483adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
8548renemnfd 9970 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ≠ -∞)
86 xaddpnf2 11932 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ ℝ*𝐸 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
8739, 85, 86syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
8887adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
8984, 88eqtr2d 2645 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
9082, 89breqtrd 4609 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
91 simpl 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
92 sge0xaddlem1.xr . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
94 neqne 2790 . . . . . . . 8 (¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
9594adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
96 ge0xrre 38605 . . . . . . 7 ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9793, 95, 96syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9847, 60readdcld 9948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
9998adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
100 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
10148adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℝ)
10241, 51jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin))
103 unfi 8112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈𝑊) ∈ Fin)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝑊) ∈ Fin)
105 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝜑)
10643, 54unssd 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈𝑊) ⊆ 𝐴)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → (𝑈𝑊) ⊆ 𝐴)
108 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝑘 ∈ (𝑈𝑊))
109107, 108sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝑘𝐴)
110105, 109, 25syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝐵 ∈ ℝ)
111109, 27syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝐶 ∈ ℝ)
112110, 111readdcld 9948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
113104, 112fsumrecl 14312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
115104, 110fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵 ∈ ℝ)
116104, 111fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶 ∈ ℝ)
117 icossicc 12131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
118117, 3sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
119 xrge0ge0 38504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
121109, 120syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 0 ≤ 𝐵)
122 ssun1 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ⊆ (𝑈𝑊)
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑈𝑊))
124104, 110, 121, 123fsumless 14369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵)
125117, 5sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126 xrge0ge0 38504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
128109, 127syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 0 ≤ 𝐶)
129 ssun2 3739 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 ⊆ (𝑈𝑊)
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ⊆ (𝑈𝑊))
131104, 111, 128, 130fsumless 14369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐶 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶)
13247, 60, 115, 116, 124, 131leadd12dd 38473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶))
133110recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝐵 ∈ ℂ)
134111recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝐶 ∈ ℂ)
135104, 133, 134fsumadd 14317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶))
136135eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶))
137132, 136breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶))
138137adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶))
13935adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
140104, 106elpwd 38264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈𝑊) ∈ 𝒫 𝐴)
141140, 104elind 3760 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
142113elexd 3187 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V)
143 sumeq1 14267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑈𝑊) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶))
14433, 143elrnmpt1s 5294 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
145141, 142, 144syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
146145adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
147 supxrub 12026 . . . . . . . . . 10 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
148139, 146, 147syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
14999, 114, 100, 138, 148letrd 10073 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
15099, 100, 101, 149leadd1dd 10520 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
151 rexadd 11937 . . . . . . . . 9 ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
152100, 101, 151syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
153152eqcomd 2616 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
154150, 153breqtrd 4609 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15591, 97, 154syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15690, 155pm2.61dan 828 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15774, 156eqbrtrd 4605 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15815, 63, 40, 66, 157xrltletrd 11868 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) < (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15915, 40, 158xrltled 38427 1 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708   +𝑒 cxad 11820  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  Σcsu 14264  Σ^csumge0 39255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256 This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  39327
 Copyright terms: Public domain W3C validator