Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0isummpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0isummpt2 39325
 Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isummpt2.kph 𝑘𝜑
sge0isummpt2.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0isummpt2.b (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0isummpt2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isummpt2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 sge0isummpt2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4 sge0isummpt2.kph . . . . . . 7 𝑘𝜑
5 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1816 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
87nfcsb1 3514 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
98nfel1 2765 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)
106, 9nfim 1813 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1211anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
13 csbeq1a 3508 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1512, 14imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16 sge0isummpt2.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
1710, 15, 16chvar 2250 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑖𝐴
19 nfcsb1v 3515 . . . . . . 7 𝑘𝑖 / 𝑘𝐴
20 csbeq1a 3508 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
2118, 19, 20cbvmpt 4677 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)
2221eqcomi 2619 . . . . 5 (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
237, 8, 13, 22fvmptf 6209 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
243, 17, 23syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
25 rge0ssre 12151 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 ax-resscn 9872 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
2725, 26sstri 3577 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
2827, 17sseldi 3566 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
29 sge0isummpt2.b . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
3021a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴))
3130seqeq3d 12671 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)))
3231breq1d 4593 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵))
3329, 32mpbid 221 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵)
341, 2, 24, 28, 33isumclim 14330 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
35 nfcv 2751 . . . 4 𝑗𝑍
36 nfcv 2751 . . . 4 𝑘𝑍
37 nfcv 2751 . . . 4 𝑗𝐴
3813, 35, 36, 37, 8cbvsum 14273 . . 3 Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴
3938a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴)
404, 16, 2, 1, 29sge0isummpt 39323 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = 𝐵)
4134, 39, 403eqtr4rd 2655 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ⦋csb 3499   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  [,)cico 12048  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  Σ^csumge0 39255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-sumge0 39256 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator