Theorem rge0ssre 12151

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 12149	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 475	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3572	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  [,)cico 12048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052

This theorem is referenced by:  fsumge0  14368  abvf  18646  rege0subm  19621  rge0srg  19636  icopnfhmeo  22550  iccpnfcnv  22551  cphsqrtcl  22792  ovollb2lem  23063  ovollb2  23064  ovolunlem1a  23071  ovolunlem1  23072  ovoliunlem1  23077  ovolicc1  23091  ovolicc2lem4  23095  ovolre  23100  ioombl1lem2  23134  ioombl1lem4  23136  uniioombllem1  23155  uniioombllem2  23157  uniioombllem3  23159  uniioombllem6  23162  0plef  23245  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  itg2mulclem  23319  itg2mulc  23320  itg2monolem1  23323  itg2mono  23326  itg2i1fseq  23328  itg2gt0  23333  itg2cnlem1  23334  itg2cnlem2  23335  cxpcn3  24289  rlimcnp  24492  efrlim  24496  jensenlem1  24513  jensenlem2  24514  jensen  24515  amgm  24517  axcontlem10  25653  xrge0adddir  29023  fsumrp0cl  29026  xrge0slmod  29175  xrge0iifcnv  29307  lmlimxrge0  29322  rge0scvg  29323  lmdvg  29327  esumfsupre  29460  esumpfinvallem  29463  esumpfinval  29464  esumpfinvalf  29465  esumpcvgval  29467  esumcvg  29475  sibfof  29729  sitgclg  29731  sitgaddlemb  29737  itg2addnclem2  32632  itg2addnclem3  32633  itg2gt0cn  32635  ftc1anclem3  32657  areacirclem2  32671  xralrple2  38511  ge0xrre  38605  fsumge0cl  38640  fouriersw  39124  sge0rnre  39257  fge0iccre  39267  sge0sn  39272  sge0tsms  39273  sge0f1o  39275  sge0repnf  39279  sge0fsum  39280  sge0pr  39287  sge0ltfirp  39293  sge0resplit  39299  sge0le  39300  sge0split  39302  sge0iunmptlemre  39308  sge0isum  39320  sge0ad2en  39324  sge0isummpt2  39325  sge0xaddlem1  39326  sge0xaddlem2  39327  sge0gtfsumgt  39336  sge0uzfsumgt  39337  sge0seq  39339  sge0reuz  39340  sge0reuzb  39341  meassre  39370  meaiuninclem  39373  omessre  39400  omeiunltfirp  39409  carageniuncl  39413  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487  hoidmvlelem4  39488  hoidmvlelem5  39489  hspmbllem1  39516