MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Unicode version

Theorem fsumrecl 13515
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumrecl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumrecl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9545 . . 3  |-  RR  C_  CC
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3 readdcl 9571 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
43adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumrecl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
7 0red 9593 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 13513 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3476  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487    + caddc 9491   sum_csu 13467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468
This theorem is referenced by:  fsumless  13569  fsumle  13572  fsumlt  13573  fsumabs  13574  o1fsum  13586  isumltss  13619  climcndslem1  13620  climcndslem2  13621  mertenslem1  13652  rpnnen2lem10  13814  prmreclem4  14292  prmreclem5  14293  lebnumlem1  21196  csbren  21561  trirn  21562  rrxmet  21570  rrxdstprj1  21571  ovolfiniun  21647  ovoliunlem1  21648  ovolscalem1  21659  ovolicc2lem4  21666  volfiniun  21692  uniioombllem3a  21728  uniioombllem4  21730  i1fd  21823  itg1cl  21827  i1fadd  21837  i1fmul  21838  dvfsumge  22158  dvfsumabs  22159  dvfsumrlimf  22161  dvfsumlem2  22163  dvfsumlem3  22164  dvfsumlem4  22165  dvfsum2  22170  aaliou3lem5  22477  mtest  22533  mtestbdd  22534  abelthlem7  22567  abelthlem8  22568  log2ublem2  23006  log2ub  23008  birthdaylem3  23011  emcllem1  23053  emcllem2  23054  emcllem3  23055  harmoniclbnd  23066  harmonicubnd  23067  harmonicbnd4  23068  fsumharmonic  23069  ftalem1  23074  ftalem4  23077  ftalem5  23078  chtf  23110  chpf  23125  chpub  23223  logfaclbnd  23225  logexprlim  23228  chtppilimlem1  23386  vmadivsum  23395  vmadivsumb  23396  rplogsumlem1  23397  rplogsumlem2  23398  rpvmasumlem  23400  dchrisumlem2  23403  dchrmusum2  23407  dchrvmasumlem2  23411  dchrvmasumlem3  23412  dchrvmasumiflem1  23414  dchrisum0ff  23420  dchrisum0flblem1  23421  dchrisum0fno1  23424  dchrisum0re  23426  dchrisum0lem1  23429  dchrisum0lem2a  23430  rplogsum  23440  dirith2  23441  mudivsum  23443  mulogsumlem  23444  mulog2sumlem1  23447  mulog2sumlem2  23448  vmalogdivsum2  23451  vmalogdivsum  23452  2vmadivsumlem  23453  logsqvma2  23456  log2sumbnd  23457  selberglem2  23459  selberg  23461  selbergb  23462  selberg2b  23465  chpdifbndlem1  23466  logdivbnd  23469  selberg3lem1  23470  selberg3lem2  23471  selberg3  23472  selberg4lem1  23473  selberg4  23474  pntrsumo1  23478  pntrsumbnd  23479  pntrsumbnd2  23480  selberg3r  23482  selberg4r  23483  selberg34r  23484  pntsf  23486  pntsval2  23489  pntrlog2bndlem1  23490  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem3  23492  pntrlog2bndlem4  23493  pntrlog2bndlem5  23494  pntrlog2bndlem6  23496  pntrlog2bnd  23497  pntpbnd1  23499  pntpbnd2  23500  pntlemj  23516  pntlemf  23518  pntlemk  23519  pntlemo  23520  axsegconlem2  23897  ax5seglem3  23910  ax5seg  23917  esumpcvgval  27724  esumcvg  27732  sibfof  27922  mettrifi  29853  geomcau  29855  rrnmet  29928  rrndstprj1  29929  rrndstprj2  29930  refsumcn  30983  stoweidlem11  31311  stoweidlem17  31317  stoweidlem20  31320  stoweidlem26  31326  stoweidlem30  31330  stoweidlem32  31332  stoweidlem38  31338  stoweidlem44  31344  stirlinglem12  31385  dirkeritg  31402  fourierdlem73  31480  fourierdlem83  31490  fourierdlem112  31519  fsummsndifre  31814  fsummmodsndifre  31816
  Copyright terms: Public domain W3C validator