MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Unicode version

Theorem fsumrecl 13194
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumrecl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumrecl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9326 . . 3  |-  RR  C_  CC
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3 readdcl 9352 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
43adantl 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumrecl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
7 0red 9374 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 13192 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755    C_ wss 3316  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9267   RRcr 9268    + caddc 9272   sum_csu 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-sum 13147
This theorem is referenced by:  fsumless  13241  fsumle  13244  fsumlt  13245  fsumabs  13246  o1fsum  13258  isumltss  13293  climcndslem1  13294  climcndslem2  13295  mertenslem1  13326  rpnnen2lem10  13488  prmreclem4  13962  prmreclem5  13963  lebnumlem1  20374  csbren  20739  trirn  20740  rrxmet  20748  rrxdstprj1  20749  ovolfiniun  20825  ovoliunlem1  20826  ovolscalem1  20837  ovolicc2lem4  20844  volfiniun  20869  uniioombllem3a  20905  uniioombllem4  20907  i1fd  21000  itg1cl  21004  i1fadd  21014  i1fmul  21015  dvfsumge  21335  dvfsumabs  21336  dvfsumrlimf  21338  dvfsumlem2  21340  dvfsumlem3  21341  dvfsumlem4  21342  dvfsum2  21347  aaliou3lem5  21697  mtest  21753  mtestbdd  21754  abelthlem7  21787  abelthlem8  21788  log2ublem2  22226  log2ub  22228  birthdaylem3  22231  emcllem1  22273  emcllem2  22274  emcllem3  22275  harmoniclbnd  22286  harmonicubnd  22287  harmonicbnd4  22288  fsumharmonic  22289  ftalem1  22294  ftalem4  22297  ftalem5  22298  chtf  22330  chpf  22345  chpub  22443  logfaclbnd  22445  logexprlim  22448  chtppilimlem1  22606  vmadivsum  22615  vmadivsumb  22616  rplogsumlem1  22617  rplogsumlem2  22618  rpvmasumlem  22620  dchrisumlem2  22623  dchrmusum2  22627  dchrvmasumlem2  22631  dchrvmasumlem3  22632  dchrvmasumiflem1  22634  dchrisum0ff  22640  dchrisum0flblem1  22641  dchrisum0fno1  22644  dchrisum0re  22646  dchrisum0lem1  22649  dchrisum0lem2a  22650  rplogsum  22660  dirith2  22661  mudivsum  22663  mulogsumlem  22664  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  logsqvma2  22676  log2sumbnd  22677  selberglem2  22679  selberg  22681  selbergb  22682  selberg2b  22685  chpdifbndlem1  22686  logdivbnd  22689  selberg3lem1  22690  selberg3lem2  22691  selberg3  22692  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrsumo1  22698  pntrsumbnd  22699  pntrsumbnd2  22700  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntsf  22706  pntsval2  22709  pntrlog2bndlem1  22710  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntrlog2bnd  22717  pntpbnd1  22719  pntpbnd2  22720  pntlemj  22736  pntlemf  22738  pntlemk  22739  pntlemo  22740  axsegconlem2  22986  ax5seglem3  22999  ax5seg  23006  esumpcvgval  26380  esumcvg  26388  sibfof  26573  mettrifi  28494  geomcau  28496  rrnmet  28569  rrndstprj1  28570  rrndstprj2  28571  refsumcn  29594  stoweidlem11  29649  stoweidlem17  29655  stoweidlem20  29658  stoweidlem26  29664  stoweidlem30  29668  stoweidlem32  29670  stoweidlem38  29676  stoweidlem44  29682  stirlinglem12  29723  fsummsndifre  30080  fsummmodsndifre  30082
  Copyright terms: Public domain W3C validator