MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Unicode version

Theorem fsumrecl 13216
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumrecl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumrecl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9344 . . 3  |-  RR  C_  CC
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3 readdcl 9370 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
43adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumrecl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
7 0red 9392 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 13214 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    C_ wss 3333  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286    + caddc 9290   sum_csu 13168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169
This theorem is referenced by:  fsumless  13264  fsumle  13267  fsumlt  13268  fsumabs  13269  o1fsum  13281  isumltss  13316  climcndslem1  13317  climcndslem2  13318  mertenslem1  13349  rpnnen2lem10  13511  prmreclem4  13985  prmreclem5  13986  lebnumlem1  20538  csbren  20903  trirn  20904  rrxmet  20912  rrxdstprj1  20913  ovolfiniun  20989  ovoliunlem1  20990  ovolscalem1  21001  ovolicc2lem4  21008  volfiniun  21033  uniioombllem3a  21069  uniioombllem4  21071  i1fd  21164  itg1cl  21168  i1fadd  21178  i1fmul  21179  dvfsumge  21499  dvfsumabs  21500  dvfsumrlimf  21502  dvfsumlem2  21504  dvfsumlem3  21505  dvfsumlem4  21506  dvfsum2  21511  aaliou3lem5  21818  mtest  21874  mtestbdd  21875  abelthlem7  21908  abelthlem8  21909  log2ublem2  22347  log2ub  22349  birthdaylem3  22352  emcllem1  22394  emcllem2  22395  emcllem3  22396  harmoniclbnd  22407  harmonicubnd  22408  harmonicbnd4  22409  fsumharmonic  22410  ftalem1  22415  ftalem4  22418  ftalem5  22419  chtf  22451  chpf  22466  chpub  22564  logfaclbnd  22566  logexprlim  22569  chtppilimlem1  22727  vmadivsum  22736  vmadivsumb  22737  rplogsumlem1  22738  rplogsumlem2  22739  rpvmasumlem  22741  dchrisumlem2  22744  dchrmusum2  22748  dchrvmasumlem2  22752  dchrvmasumlem3  22753  dchrvmasumiflem1  22755  dchrisum0ff  22761  dchrisum0flblem1  22762  dchrisum0fno1  22765  dchrisum0re  22767  dchrisum0lem1  22770  dchrisum0lem2a  22771  rplogsum  22781  dirith2  22782  mudivsum  22784  mulogsumlem  22785  mulog2sumlem1  22788  mulog2sumlem2  22789  vmalogdivsum2  22792  vmalogdivsum  22793  2vmadivsumlem  22794  logsqvma2  22797  log2sumbnd  22798  selberglem2  22800  selberg  22802  selbergb  22803  selberg2b  22806  chpdifbndlem1  22807  logdivbnd  22810  selberg3lem1  22811  selberg3lem2  22812  selberg3  22813  selberg4lem1  22814  selberg4  22815  pntrsumo1  22819  pntrsumbnd  22820  pntrsumbnd2  22821  selberg3r  22823  selberg4r  22824  selberg34r  22825  pntsf  22827  pntsval2  22830  pntrlog2bndlem1  22831  pntrlog2bndlem2  22832  pntrlog2bndlem3  22833  pntrlog2bndlem4  22834  pntrlog2bndlem5  22835  pntrlog2bndlem6  22837  pntrlog2bnd  22838  pntpbnd1  22840  pntpbnd2  22841  pntlemj  22857  pntlemf  22859  pntlemk  22860  pntlemo  22861  axsegconlem2  23169  ax5seglem3  23182  ax5seg  23189  esumpcvgval  26532  esumcvg  26540  sibfof  26731  mettrifi  28658  geomcau  28660  rrnmet  28733  rrndstprj1  28734  rrndstprj2  28735  refsumcn  29757  stoweidlem11  29811  stoweidlem17  29817  stoweidlem20  29820  stoweidlem26  29826  stoweidlem30  29830  stoweidlem32  29832  stoweidlem38  29838  stoweidlem44  29844  stirlinglem12  29885  fsummsndifre  30242  fsummmodsndifre  30244
  Copyright terms: Public domain W3C validator