MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Unicode version

Theorem fsumrecl 12483
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumrecl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumrecl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9003 . . 3  |-  RR  C_  CC
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3 readdcl 9029 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
43adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumrecl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
7 0re 9047 . . 3  |-  0  e.  RR
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
92, 4, 5, 6, 8fsumcllem 12481 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    C_ wss 3280  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  fsumless  12530  fsumle  12533  fsumlt  12534  fsumabs  12535  o1fsum  12547  isumltss  12583  climcndslem1  12584  climcndslem2  12585  mertenslem1  12616  rpnnen2lem10  12778  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  lebnumlem1  18939  ovolfiniun  19350  ovoliunlem1  19351  ovolscalem1  19362  ovolicc2lem4  19369  volfiniun  19394  uniioombllem3a  19429  uniioombllem4  19431  i1fd  19526  itg1cl  19530  i1fadd  19540  i1fmul  19541  dvfsumge  19859  dvfsumabs  19860  dvfsumrlimf  19862  dvfsumlem2  19864  dvfsumlem3  19865  dvfsumlem4  19866  dvfsum2  19871  aaliou3lem5  20217  mtest  20273  mtestbdd  20274  abelthlem7  20307  abelthlem8  20308  log2ublem2  20740  log2ub  20742  birthdaylem3  20745  emcllem1  20787  emcllem2  20788  emcllem3  20789  harmoniclbnd  20800  harmonicubnd  20801  harmonicbnd4  20802  fsumharmonic  20803  ftalem1  20808  ftalem4  20811  ftalem5  20812  chtf  20844  chpf  20859  chpub  20957  logfaclbnd  20959  logexprlim  20962  chtppilimlem1  21120  vmadivsum  21129  vmadivsumb  21130  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem2  21137  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0ff  21154  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0re  21160  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  rplogsum  21174  dirith2  21175  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  logsqvma2  21190  log2sumbnd  21191  selberglem2  21193  selberg  21195  selbergb  21196  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg3  21206  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd  21213  pntrsumbnd2  21214  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntsf  21220  pntsval2  21223  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemk  21253  pntlemo  21254  esumpcvgval  24421  esumcvg  24429  sibfof  24607  axsegconlem2  25761  ax5seglem3  25774  ax5seg  25781  csbrn  26346  trirn  26347  mettrifi  26353  geomcau  26355  rrnmet  26428  rrndstprj1  26429  rrndstprj2  26430  refsumcn  27568  stoweidlem11  27627  stoweidlem17  27633  stoweidlem20  27636  stoweidlem26  27642  stoweidlem30  27646  stoweidlem32  27648  stoweidlem38  27654  stoweidlem44  27660  stirlinglem12  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
  Copyright terms: Public domain W3C validator