MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Unicode version

Theorem fsumrecl 13743
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumrecl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumrecl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9547 . . 3  |-  RR  C_  CC
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3 readdcl 9573 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
43adantl 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumrecl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
7 0red 9595 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 13741 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1872    C_ wss 3379  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   CCcc 9488   RRcr 9489    + caddc 9493   sum_csu 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696
This theorem is referenced by:  fsumless  13799  fsumle  13802  fsumlt  13803  fsumabs  13804  o1fsum  13816  isumltss  13849  climcndslem1  13850  climcndslem2  13851  mertenslem1  13883  rpnnen2lem10  14219  prmreclem4  14806  prmreclem5  14807  lebnumlem1  21931  lebnumlem1OLD  21934  csbren  22295  trirn  22296  rrxmet  22304  rrxdstprj1  22305  ovolfiniun  22396  ovoliunlem1  22397  ovolscalem1  22408  ovolicc2lem4OLD  22415  ovolicc2lem4  22416  volfiniun  22442  uniioombllem3a  22484  uniioombllem4  22486  i1fd  22581  itg1cl  22585  i1fadd  22595  i1fmul  22596  dvfsumge  22916  dvfsumabs  22917  dvfsumrlimf  22919  dvfsumlem2  22921  dvfsumlem3  22922  dvfsumlem4  22923  dvfsum2  22928  aaliou3lem5  23245  mtest  23301  mtestbdd  23302  abelthlem7  23335  abelthlem8  23336  log2ublem2  23815  log2ub  23817  birthdaylem3  23821  emcllem1  23863  emcllem2  23864  emcllem3  23865  harmoniclbnd  23876  harmonicubnd  23877  harmonicbnd4  23878  fsumharmonic  23879  ftalem1  23939  ftalem4  23942  ftalem5  23943  ftalem4OLD  23944  ftalem5OLD  23945  chtf  23977  chpf  23992  chpub  24090  logfaclbnd  24092  logexprlim  24095  chtppilimlem1  24253  vmadivsum  24262  vmadivsumb  24263  rplogsumlem1  24264  rplogsumlem2  24265  rpvmasumlem  24267  dchrisumlem2  24270  dchrmusum2  24274  dchrvmasumlem2  24278  dchrvmasumlem3  24279  dchrvmasumiflem1  24281  dchrisum0ff  24287  dchrisum0flblem1  24288  dchrisum0fno1  24291  dchrisum0re  24293  dchrisum0lem1  24296  dchrisum0lem2a  24297  rplogsum  24307  dirith2  24308  mudivsum  24310  mulogsumlem  24311  mulog2sumlem1  24314  mulog2sumlem2  24315  vmalogdivsum2  24318  vmalogdivsum  24319  2vmadivsumlem  24320  logsqvma2  24323  log2sumbnd  24324  selberglem2  24326  selberg  24328  selbergb  24329  selberg2b  24332  chpdifbndlem1  24333  logdivbnd  24336  selberg3lem1  24337  selberg3lem2  24338  selberg3  24339  selberg4lem1  24340  selberg4  24341  pntrsumo1  24345  pntrsumbnd  24346  pntrsumbnd2  24347  selberg3r  24349  selberg4r  24350  selberg34r  24351  pntsf  24353  pntsval2  24356  pntrlog2bndlem1  24357  pntrlog2bndlem2  24358  pntrlog2bndlem3  24359  pntrlog2bndlem4  24360  pntrlog2bndlem5  24361  pntrlog2bndlem6  24363  pntrlog2bnd  24364  pntpbnd1  24366  pntpbnd2  24367  pntlemj  24383  pntlemf  24385  pntlemk  24386  pntlemo  24387  axsegconlem2  24890  ax5seglem3  24903  ax5seg  24910  esumpcvgval  28851  esumcvg  28859  sibfof  29125  mettrifi  31993  geomcau  31995  rrnmet  32068  rrndstprj1  32069  rrndstprj2  32070  refsumcn  37267  fsumge0cl  37536  fsumreclf  37539  stoweidlem11  37754  stoweidlem17  37760  stoweidlem20  37763  stoweidlem26  37769  stoweidlem30  37774  stoweidlem32  37776  stoweidlem38  37782  stoweidlem44  37788  stirlinglem12  37830  dirkeritg  37847  fourierdlem73  37926  fourierdlem83  37936  fourierdlem112  37965  etransclem23  38005  etransclem35  38017  etransclem48OLD  38030  etransclem48  38031  sge0rnre  38057  sge0cl  38074  sge0fsum  38080  sge0ltfirp  38093  sge0le  38100  sge0split  38102  sge0iunmptlemfi  38106  sge0iunmptlemre  38108  sge0xaddlem1  38126  sge0xaddlem2  38127  omeiunltfirp  38191  carageniuncllem2  38194  hoidmvlelem2  38265  hoidmvlelem3  38266  fsummsndifre  38866  fsummmodsndifre  38868
  Copyright terms: Public domain W3C validator