MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Unicode version

Theorem fsumrecl 13638
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumrecl.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
fsumrecl  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9538 . . 3  |-  RR  C_  CC
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3 readdcl 9564 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
43adantl 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
5 fsumcl.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fsumrecl.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
7 0red 9586 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 13636 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823    C_ wss 3461  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480    + caddc 9484   sum_csu 13590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591
This theorem is referenced by:  fsumless  13692  fsumle  13695  fsumlt  13696  fsumabs  13697  o1fsum  13709  isumltss  13742  climcndslem1  13743  climcndslem2  13744  mertenslem1  13775  rpnnen2lem10  14041  prmreclem4  14521  prmreclem5  14522  lebnumlem1  21627  csbren  21992  trirn  21993  rrxmet  22001  rrxdstprj1  22002  ovolfiniun  22078  ovoliunlem1  22079  ovolscalem1  22090  ovolicc2lem4  22097  volfiniun  22123  uniioombllem3a  22159  uniioombllem4  22161  i1fd  22254  itg1cl  22258  i1fadd  22268  i1fmul  22269  dvfsumge  22589  dvfsumabs  22590  dvfsumrlimf  22592  dvfsumlem2  22594  dvfsumlem3  22595  dvfsumlem4  22596  dvfsum2  22601  aaliou3lem5  22909  mtest  22965  mtestbdd  22966  abelthlem7  22999  abelthlem8  23000  log2ublem2  23475  log2ub  23477  birthdaylem3  23481  emcllem1  23523  emcllem2  23524  emcllem3  23525  harmoniclbnd  23536  harmonicubnd  23537  harmonicbnd4  23538  fsumharmonic  23539  ftalem1  23544  ftalem4  23547  ftalem5  23548  chtf  23580  chpf  23595  chpub  23693  logfaclbnd  23695  logexprlim  23698  chtppilimlem1  23856  vmadivsum  23865  vmadivsumb  23866  rplogsumlem1  23867  rplogsumlem2  23868  rpvmasumlem  23870  dchrisumlem2  23873  dchrmusum2  23877  dchrvmasumlem2  23881  dchrvmasumlem3  23882  dchrvmasumiflem1  23884  dchrisum0ff  23890  dchrisum0flblem1  23891  dchrisum0fno1  23894  dchrisum0re  23896  dchrisum0lem1  23899  dchrisum0lem2a  23900  rplogsum  23910  dirith2  23911  mudivsum  23913  mulogsumlem  23914  mulog2sumlem1  23917  mulog2sumlem2  23918  vmalogdivsum2  23921  vmalogdivsum  23922  2vmadivsumlem  23923  logsqvma2  23926  log2sumbnd  23927  selberglem2  23929  selberg  23931  selbergb  23932  selberg2b  23935  chpdifbndlem1  23936  logdivbnd  23939  selberg3lem1  23940  selberg3lem2  23941  selberg3  23942  selberg4lem1  23943  selberg4  23944  pntrsumo1  23948  pntrsumbnd  23949  pntrsumbnd2  23950  selberg3r  23952  selberg4r  23953  selberg34r  23954  pntsf  23956  pntsval2  23959  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem3  23962  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bndlem6  23966  pntrlog2bnd  23967  pntpbnd1  23969  pntpbnd2  23970  pntlemj  23986  pntlemf  23988  pntlemk  23989  pntlemo  23990  axsegconlem2  24423  ax5seglem3  24436  ax5seg  24443  esumpcvgval  28307  esumcvg  28315  sibfof  28546  mettrifi  30490  geomcau  30492  rrnmet  30565  rrndstprj1  30566  rrndstprj2  30567  refsumcn  31645  stoweidlem11  32032  stoweidlem17  32038  stoweidlem20  32041  stoweidlem26  32047  stoweidlem30  32051  stoweidlem32  32053  stoweidlem38  32059  stoweidlem44  32065  stirlinglem12  32106  dirkeritg  32123  fourierdlem73  32201  fourierdlem83  32211  fourierdlem112  32240  etransclem23  32279  etransclem35  32291  etransclem48  32304  fsummsndifre  32717  fsummmodsndifre  32719
  Copyright terms: Public domain W3C validator