Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0rnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0rnre 39257
Description: When Σ^ is applied to nonnegative real numbers the range used in its definition is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sge0rnre.1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0rnre (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0rnre
StepHypRef Expression
1 elinel2 3762 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
21adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3 rge0ssre 12151 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 sge0rnre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
54ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
6 elinel1 3761 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4117 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥𝑋)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑋)
10 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
119, 10sseldd 3569 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑋)
1211adantll 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑋)
135, 12ffvelrnd 6268 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
143, 13sseldi 3566 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
152, 14fsumrecl 14312 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1615ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
17 eqid 2610 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
1817rnmptss 6299 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
1916, 18syl 17 1 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wral 2896  cin 3539  wss 3540  𝒫 cpw 4108  cmpt 4643  ran crn 5039  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  [,)cico 12048  Σcsu 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265
This theorem is referenced by:  fsumlesge0  39270  sge0supre  39282  sge0less  39285  sge0ltfirp  39293  sge0resplit  39299  sge0split  39302
  Copyright terms: Public domain W3C validator