Theorem selberg34r 25060

Description: The sum of selberg3r 25058 and selberg4r 25059. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
selberg34r	⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑎,𝑛,𝑥   𝑦,𝑚,𝑅,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem selberg34r

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
3		elioore 12076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		1rp 11712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
7		1red 9934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
8		eliooord 12104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
10	9	simpld 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
11	7, 4, 10	ltled 10064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
12	4, 6, 11	rpgecld 11787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13		pntrval.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
14	13	pntrf 25052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
15	14	ffvelrni 6266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑅‘𝑥) ∈ ℝ)
17	12	relogcld 24173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
18	16, 17	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
19	2, 18	remulcld 9949	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
20	19	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
21	4, 10	rplogcld 24179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
22	2, 21	rerpdivcld 11779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
24		fzfid 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
25	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
26		elfznn 12241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 11746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
29	25, 28	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
30	14	ffvelrni 6266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32		fzfid 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...𝑛) ∈ Fin)
33		dvdsssfz1 14878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛))
35		ssfi 8065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ (1...𝑛)) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
36	32, 34, 35	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ∈ Fin)
37		ssrab2 3650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ⊆ ℕ
38		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
39	37, 38	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
40		vmacl 24644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
42		dvdsdivcl 14876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
43	27, 42	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})
44	37, 43	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ)
45		vmacl 24644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
47	41, 46	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
48	36, 47	fsumrecl 14312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
49		vmacl 24644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
50	27, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
51	28	relogcld 24173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
52	50, 51	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
53	48, 52	resubcld 10337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
54	31, 53	remulcld 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
55	24, 54	fsumrecl 14312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
56	55	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
57	23, 56	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) ∈ ℂ)
58	20, 57	subcld 10271	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) ∈ ℂ)
59	4	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
60		2cnd 10970	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ∈ ℂ)
61	12	rpne0d 11753	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
62		2ne0 10990	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 2 ≠ 0)
64	58, 59, 60, 61, 63	divdiv32d 10705	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) / 2) = ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) / 𝑥))
65	58, 59, 61	divcld 10680	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) ∈ ℂ)
66	65, 60, 63	divrecd 10683	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) / 2) = ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2)))
67	20, 57, 60, 63	divsubdird 10719	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2)))
68	18	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
69	68, 60, 63	divcan3d 10685	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) = ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)))
70	21	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
71	21	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ≠ 0)
72	60, 70, 56, 71	div32d 10703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
73	72	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2) = ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 2))
74	55, 21	rerpdivcld 11779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
75	74	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
76	75, 60, 63	divcan3d 10685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)))
77	73, 76	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥)))
78	69, 77	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) / 2) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) / 2)) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
79	67, 78	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))))
80	79	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 2) / 𝑥) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥))
81	64, 66, 80	3eqtr3d 2652	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2)) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥))
82	81	mpteq2dva 4672	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2))) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)))
83	22, 55	remulcld 9949	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
84	19, 83	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) ∈ ℝ)
85	84, 12	rerpdivcld 11779	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
86	7	rehalfcld 11156	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
87	31	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
88	48	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
89	50	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℂ)
90	51	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
92	87, 88, 91	subdid 10365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))
93	87, 89, 90	mul12d 10124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) = ((Λ‘𝑛) · ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (log‘𝑛))))
94	89, 87, 90	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) = ((Λ‘𝑛) · ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (log‘𝑛))))
95	93, 94	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))) = (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))
96	95	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
97	92, 96	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
98	97	sumeq2dv 14281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
99	87, 88	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
100	89, 87	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
101	100, 90	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
102	24, 99, 101	fsumsub 14362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
103	47	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛}) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℂ)
104	36, 87, 103	fsummulc2 14358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
105	104	sumeq2dv 14281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))))
106		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑥 / 𝑛) = (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)))
107	106	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) = (𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))))
108		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (𝑛 / 𝑚) = ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))
109	108	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) = (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))
110	109	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))))
111	107, 110	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑚 · 𝑘) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))))
112	31	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
113	41	anasss 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
114	46	anasss 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → (Λ‘(𝑛 / 𝑚)) ∈ ℝ)
115	113, 114	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) ∈ ℝ)
116	112, 115	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
117	116	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛})) → ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
118	111, 4, 117	dvdsflsumcom 24714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))))
119	59	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
120		elfznn 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
121	120	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
122	121	nnrpd 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
124	123	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
125		elfznn 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))) → 𝑘 ∈ ℕ)
126	125	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
127	126	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
128	123	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑚 ≠ 0)
129	126	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ≠ 0)
130	119, 124, 127, 128, 129	divdiv1d 10711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) = (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)))
131	130	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑥 / (𝑚 · 𝑘)) = ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))
132	131	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) = (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))
133	127, 124, 128	divcan3d 10685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑚 · 𝑘) / 𝑚) = 𝑘)
134	133	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)) = (Λ‘𝑘))
135	134	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚))) = ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)))
136	132, 135	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘))))
137	12	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
138	137, 123	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑥 / 𝑚) ∈ ℝ+)
139	126	nnrpd 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → 𝑘 ∈ ℝ+)
140	138, 139	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) ∈ ℝ+)
141	14	ffvelrni 6266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 / 𝑚) / 𝑘) ∈ ℝ+ → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℝ)
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℝ)
143	142	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) ∈ ℂ)
144	121, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℝ)
145	144	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑚) ∈ ℂ)
147		vmacl 24644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
148	126, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
149	148	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
150	146, 149	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) ∈ ℂ)
151	143, 150	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘))) = (((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))
152	146, 149, 143	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → (((Λ‘𝑚) · (Λ‘𝑘)) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) = ((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
153	136, 151, 152	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
154	153	sumeq2dv 14281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
155		fzfid 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚))) ∈ Fin)
156	148, 142	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℝ)
157	156	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))) → ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℂ)
158	155, 145, 157	fsummulc2 14358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑚) · ((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
159	154, 158	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
160	159	sumeq2dv 14281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((𝑅‘(𝑥 / (𝑚 · 𝑘))) · ((Λ‘𝑚) · (Λ‘((𝑚 · 𝑘) / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
161	105, 118, 160	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))
162	161	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
163	98, 102, 162	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))
164	163	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
165	155, 156	fsumrecl 14312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))) ∈ ℝ)
166	144, 165	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℝ)
167	24, 166	fsumrecl 14312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℝ)
168	167	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) ∈ ℂ)
169	50, 31	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
170	169, 51	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
171	24, 170	fsumrecl 14312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
172	171	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
173	23, 168, 172	subdid 10365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
174	164, 173	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛))))) = (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
175	174	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))))
176	23, 168	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) ∈ ℂ)
177	22, 171	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
178	177	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))) ∈ ℂ)
179	20, 176, 178	subsub3d 10301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − (((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛))))) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
180	175, 179	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
181	68	2timesd 11152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) = (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))))
182	181	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
183	68, 178, 68	add32d 10142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))))
184	182, 183	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))))
185	184	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))))
186	18, 177	readdcld 9948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
187	186	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
188	187, 68, 176	addsubassd 10291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))))
189	180, 185, 188	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) = ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))))
190	189	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))) / 𝑥))
191	68, 176	subcld 10271	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) ∈ ℂ)
192	187, 191, 59, 61	divdird 10718	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) + (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)))
193	190, 192	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) = (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)))
194	193	mpteq2dva 4672	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥))))
195	186, 12	rerpdivcld 11779	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) ∈ ℝ)
196	22, 167	remulcld 9949	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘))))) ∈ ℝ)
197	18, 196	resubcld 10337	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) ∈ ℝ)
198	197, 12	rerpdivcld 11779	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥) ∈ ℝ)
199	13	selberg3r 25058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
200	199	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
201	13	selberg4r 25059	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
202	201	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
203	195, 198, 200, 202	o1add2 14202	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) + ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((Λ‘𝑛) · (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) · (log‘𝑛)))) / 𝑥) + ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((Λ‘𝑚) · Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑚)))((Λ‘𝑘) · (𝑅‘((𝑥 / 𝑚) / 𝑘)))))) / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
204	194, 203	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
205		ioossre 12106	. . . . 5 ⊢ (1(,)+∞) ⊆ ℝ
206		1cnd 9935	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
207	206	halfcld 11154	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
208		o1const 14198	. . . . 5 ⊢ (((1(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ 𝑂(1))
209	205, 207, 208	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ 𝑂(1))
210	85, 86, 204, 209	o1mul2 14203	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((2 · ((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥))) − ((2 / (log‘𝑥)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))))) / 𝑥) · (1 / 2))) ∈ 𝑂(1))
211	82, 210	eqeltrrd 2689	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
212	211	trud 1484	1 ⊢ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ ((((𝑅‘𝑥) · (log‘𝑥)) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) · (Σ𝑚 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑛} ((Λ‘𝑚) · (Λ‘(𝑛 / 𝑚))) − ((Λ‘𝑛) · (log‘𝑛)))) / (log‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  𝑂(1)co1 14065  Σcsu 14264   ∥ cdvds 14821  logclog 24105  Λcvma 24618  ψcchp 24619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-o1 14069  df-lo1 14070  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-em 24519  df-cht 24623  df-vma 24624  df-chp 24625  df-ppi 24626  df-mu 24627

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  25066