Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageniuncllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageniuncllem2 39412
 Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncllem2.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncllem2.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncllem2.x 𝑋 = dom 𝑂
carageniuncllem2.a (𝜑𝐴𝑋)
carageniuncllem2.re (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
carageniuncllem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncllem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
carageniuncllem2.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
carageniuncllem2.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
carageniuncllem2.g 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
carageniuncllem2.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
carageniuncllem2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑀,𝑛   𝑛,𝑂   𝑆,𝑖   𝑛,𝑋   𝑖,𝑍,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖,𝑛)   𝑂(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem carageniuncllem2
Dummy variables 𝑘 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncllem2.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 carageniuncllem2.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
3 carageniuncllem2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
4 carageniuncllem2.re . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
5 inss1 3795 . . . . 5 (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴)
71, 2, 3, 4, 6omessre 39400 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
8 difssd 3700 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴)
91, 2, 3, 4, 8omessre 39400 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
10 rexadd 11937 . . 3 (((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
117, 9, 10syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
12 carageniuncllem2.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
13 ssinss1 3803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋)
151, 2unidmex 38242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ V)
16 ssexg 4732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
173, 15, 16syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ V)
18 inex1g 4729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
20 elpwg 4116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋))
2214, 21mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋)
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋)
24 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2523, 24fmptd 6292 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
26 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
2726ineq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2827cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2928feq1i 5949 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋))
3125, 30mpbird 246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
32 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
3428fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑍 ∧ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3532, 33, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3635iuneq2dv 4478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3736fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
38 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝜑
39 carageniuncllem2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
40 carageniuncllem2.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
4138, 12, 39, 40iundjiun 39353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
4241simplrd 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4342eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
4443ineq2d 3776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
45 iunin2 4520 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) = (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
4645eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
4844, 47eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
4948fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
5049, 7eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
5137, 50eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) ∈ ℝ)
52 carageniuncllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
531, 2, 12, 31, 51, 52omeiunltfirp 39409 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌))
5437adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
55 elpwinss 38241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧𝑍)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑧𝑍)
57 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑧)
5856, 57sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
5958adantll 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
6019ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
6159, 60, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
6261fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
6362sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
6463oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
6554, 64breq12d 4596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) ↔ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6665biimpd 218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6766reximdva 3000 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6853, 67mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
69 carageniuncllem2.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7155adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧𝑍)
72 elinel2 3762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
7470, 12, 71, 73uzfissfz 38483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
7574adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → ∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
7650ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
77 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
78 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
79 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀...𝑘) ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ∈ Fin)
8077, 78, 79syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → 𝑧 ∈ Fin)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ∈ Fin)
821ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas)
833ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝐴𝑋)
844ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
85 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
8782, 2, 83, 84, 86omessre 39400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
8881, 87fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
8952rpred 11748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9188, 90readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
9291ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
93 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
9485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
951, 2, 3, 4, 94omessre 39400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9793, 96fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9989adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
10098, 99readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
101100ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
102 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
10397adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
104 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
10596adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
106 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ∈ ℝ*)
108 pnfxr 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → +∞ ∈ ℝ*)
1101, 2, 14omecl 39393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
112 iccgelb 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
113107, 109, 111, 112syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
114113adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
115 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
116104, 105, 114, 115fsumless 14369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
11788, 103, 90, 116leadd1dd 10520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ≤ (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
118117ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ≤ (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
11976, 92, 101, 102, 118ltletrd 10076 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
120119ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
121120reximdv 2999 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
12275, 121mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
123122ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
124123rexlimdva 3013 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
12568, 124mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
12649ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
127 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
128126, 127eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
129128ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
130129reximdva 3000 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
131125, 130mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
132 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
1331adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
134 carageniuncllem2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
1353adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝑋)
1364adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
13739adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐸:𝑍𝑆)
138 carageniuncllem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
139 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
140133, 134, 2, 135, 136, 12, 137, 138, 40, 139carageniuncllem1 39411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))))
141140oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
142141adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
143132, 142breqtrd 4609 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
144143ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)))
145144reximdva 3000 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)))
146131, 145mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
14773ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
14893ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
149 inss1 3795 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴
150149a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴)
151133, 2, 135, 136, 150omessre 39400 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
15289adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑌 ∈ ℝ)
153151, 152readdcld 9948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) ∈ ℝ)
1541533adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) ∈ ℝ)
155 difssd 3700 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴)
156133, 2, 135, 136, 155omessre 39400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
1571563adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
158 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
159147, 154, 158ltled 10064 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
160135ssdifssd 3710 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝑋)
161 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
162161iuneq1d 4481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
163 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀...𝑘) ∈ V
164 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝑖) ∈ V
165163, 164iunex 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ V
166162, 138, 165fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
167 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑛 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝑛))
168167cbviunv 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛)
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛))
170166, 169eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛))
171 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
17212eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) = 𝑍
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → (ℤ𝑀) = 𝑍)
174171, 173eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖𝑍)
175174ssriv 3572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑘) ⊆ 𝑍
176 iunss1 4468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀...𝑘) ⊆ 𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
179170, 178eqsstrd 3602 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
180179adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
181180sscond 3709 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))
182133, 2, 160, 181omessle 39388 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))))
1831823adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))))
184147, 148, 154, 157, 159, 183le2addd 10525 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
185151recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℂ)
18689recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
187186adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑌 ∈ ℂ)
188156recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℂ)
189185, 187, 188add32d 10142 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) + 𝑌))
190 rexadd 11937 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
191151, 156, 190syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
192191eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
193138a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖)))
194162adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
195 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝜑
19639adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝐸:𝑍𝑆)
197174adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖𝑍)
198196, 197ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
199195, 1, 134, 93, 198caragenfiiuncl 39405 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
200199adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
201193, 194, 139, 200fvmptd 6197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
202201, 200eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
203133, 134, 2, 202, 135caragensplit 39390 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (𝑂𝐴))
204192, 203eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (𝑂𝐴))
205204oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) + 𝑌) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
206189, 205eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
2072063adant3 1074 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
208184, 207breqtrd 4609 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
2092083exp 1256 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))))
210209rexlimdv 3012 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌)))
211146, 210mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
21211, 211eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  Σcsu 14264  OutMeascome 39379  CaraGenccaragen 39381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256  df-ome 39380  df-caragen 39382 This theorem is referenced by:  carageniuncl  39413
 Copyright terms: Public domain W3C validator