MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flblem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flblem1 24997
Description: Lemma for dchrisum0flb 24999. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flblem1.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
dchrisum0flblem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flblem1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝑃,𝑏,𝑞,𝑣   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9934 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2 0red 9920 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4070 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
4 1red 9934 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ∈ ℝ)
5 fzfid 12634 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
6 dchrisum0flb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
7 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87nnnn0d 11228 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 rpvmasum.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
10 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
11 rpvmasum.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
129, 10, 11znzrhfo 19715 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
13 fof 6028 . . . . . . . . . 10 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
148, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
15 dchrisum0flblem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
16 prmz 15227 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
1814, 17ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
196, 18ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
20 elfznn0 12302 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21 reexpcl 12739 . . . . . . 7 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
235, 22fsumrecl 14312 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) ∈ ℝ)
25 breq1 4586 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
26 breq1 4586 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1))
27 1le1 10534 . . . . . 6 1 ≤ 1
28 0le1 10430 . . . . . 6 0 ≤ 1
2925, 26, 27, 28keephyp 4102 . . . . 5 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1
3029a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ 1)
31 dchrisum0flblem1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
32 nn0uz 11598 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
3331, 32syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘0))
34 fzn0 12226 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylibr 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝐴) ≠ ∅)
36 hashnncl 13018 . . . . . . . . 9 ((0...𝐴) ∈ Fin → ((#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
375, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ ↔ (0...𝐴) ≠ ∅))
3835, 37mpbird 246 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℕ)
4039nnge1d 10940 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ (#‘(0...𝐴)))
41 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
4241oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (1↑𝑖))
43 elfzelz 12213 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℤ)
44 1exp 12751 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → (1↑𝑖) = 1)
4642, 45sylan9eq 2664 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = 1)
4746sumeq2dv 14281 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1)
48 fzfid 12634 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (0...𝐴) ∈ Fin)
49 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 fsumconst 14364 . . . . . . 7 (((0...𝐴) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((#‘(0...𝐴)) · 1))
5148, 49, 50sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)1 = ((#‘(0...𝐴)) · 1))
5239nncnd 10913 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → (#‘(0...𝐴)) ∈ ℂ)
5352mulid1d 9936 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → ((#‘(0...𝐴)) · 1) = (#‘(0...𝐴)))
5447, 51, 533eqtrd 2648 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = (#‘(0...𝐴)))
5540, 54breqtrrd 4611 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → 1 ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
563, 4, 24, 30, 55letrd 10073 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
57 oveq1 6556 . . . . . . 7 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
5857breq1d 4593 . . . . . 6 (1 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
59 oveq1 6556 . . . . . . 7 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
6059breq1d 4593 . . . . . 6 (0 = if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) → ((0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)))))
61 1re 9918 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
6219adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
63 resubcl 10224 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6461, 62, 63sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6564adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
6665leidd 10473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
6764recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℂ)
6968mulid2d 9937 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
70 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7131, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7271ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
73720expd 12886 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (0↑(𝐴 + 1)) = 0)
74 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0)
7574oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (0↑(𝐴 + 1)))
7673, 75, 743eqtr4d 2654 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
77 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
7831ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
79 expp1 12729 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
8077, 78, 79sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = ((-1↑𝐴) · -1))
81 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
8215, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8382, 31nnexpcld 12892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℕ)
8483nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8584ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃𝐴) ∈ ℂ)
8685sqsqrtd 14026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((√‘(𝑃𝐴))↑2) = (𝑃𝐴))
8786oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)))
8815ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
89 nnq 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ)
91 nnne0 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0)
93 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℤ
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
95 pcexp 15402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℚ ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ≠ 0) ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9688, 90, 92, 94, 95syl121anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((√‘(𝑃𝐴))↑2)) = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
9778nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
98 pcid 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
9988, 97, 98syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝐴)) = 𝐴)
10087, 96, 993eqtr3rd 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 𝐴 = (2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
101100oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))))
10277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
103 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ)
10488, 103pccld 15393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℕ0)
105 2nn0 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
107102, 104, 106expmuld 12873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(2 · (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))) = ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))))
108 neg1sqe1 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
109108oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))))
110104nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ)
111 1exp 12751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
113109, 112syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑2)↑(𝑃 pCnt (√‘(𝑃𝐴)))) = 1)
114101, 107, 1133eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑𝐴) = 1)
115114oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = (1 · -1))
11677mulid2i 9922 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · -1) = -1
117115, 116syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((-1↑𝐴) · -1) = -1)
11880, 117eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
119118adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (-1↑(𝐴 + 1)) = -1)
12019recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
122121ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ)
123122negnegd 10262 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
124 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
125124ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1)
126 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (DChr‘𝑁)
127 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (Base‘𝐺)
128 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋𝐷)
129128ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → 𝑋𝐷)
130 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
131126, 9, 127, 10, 130, 128, 18dchrn0 24775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
132131ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0 ↔ (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍)))
133132biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝐿𝑃) ∈ (Unit‘𝑍))
134126, 127, 129, 9, 130, 133dchrabs 24785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1)
135 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = 1 ↔ (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
136134, 135syl5ibcom 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1))
137136necon3ad 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1 → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃))))
138125, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
13962ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ)
140139absord 14002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) ∨ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
141140ord 391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (¬ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = (𝑋‘(𝐿𝑃)) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃))))
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) = -(𝑋‘(𝐿𝑃)))
143142, 134eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → -(𝑋‘(𝐿𝑃)) = 1)
144143negeqd 10154 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → --(𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
145123, 144eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) = -1)
146145oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (-1↑(𝐴 + 1)))
147119, 146, 1453eqtr4d 2654 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 0) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
14876, 147pm2.61dane 2869 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) = (𝑋‘(𝐿𝑃)))
149148oveq2d 6565 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
15066, 69, 1493brtr4d 4615 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (1 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
15167mul02d 10113 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = 0)
152 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15331, 152syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
15419, 153reexpcld 12887 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
156155recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
157156abscld 14023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
158 1red 9934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ∈ ℝ)
159155leabsd 14001 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
160153adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
161121, 160absexpd 14039 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)))
162121abscld 14023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ)
163121absge0d 14031 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
164126, 127, 9, 10, 128, 18dchrabs2 24787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
165164adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1)
166 exple1 12782 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ∧ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))) ≤ 1) ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
167162, 163, 165, 160, 166syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃)))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
168161, 167eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ≤ 1)
169155, 157, 158, 159, 168letrd 10073 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1)
170 subge0 10420 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
17161, 155, 170sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ≤ 1))
172169, 171mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
173151, 172eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
174173adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) ∧ ¬ (√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ) → (0 · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
17558, 60, 150, 174ifbothda 4073 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
176 0re 9919 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17761, 176keepel 4105 . . . . . . 7 if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ)
179 resubcl 10224 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
18061, 155, 179sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
181124necomd 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃)))
18262leabsd 14001 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑃))))
18362, 162, 158, 182, 165letrd 10073 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≤ 1)
18462, 158, 183leltned 10069 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 1 ≠ (𝑋‘(𝐿𝑃))))
185181, 184mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1)
186 posdif 10400 . . . . . . . 8 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
18762, 61, 186sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃)) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
188185, 187mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))
189 lemuldiv 10782 . . . . . 6 ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ∈ ℝ ∧ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
190178, 180, 64, 188, 189syl112anc 1322 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) · (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) ≤ (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) ↔ if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃))))))
191175, 190mpbid 221 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
19231nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
193 fzval3 12404 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
194192, 193syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
195194adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (0...𝐴) = (0..^(𝐴 + 1)))
196195sumeq1d 14279 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
197 0nn0 11184 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
198197a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → 0 ∈ ℕ0)
199153, 32syl6eleq 2698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
200199adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘0))
201121, 124, 198, 200geoserg 14437 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0..^(𝐴 + 1))((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
202121exp0d 12864 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) = 1)
203202oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → (((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) = (1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))))
204203oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → ((((𝑋‘(𝐿𝑃))↑0) − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
205196, 201, 2043eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖) = ((1 − ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑(𝐴 + 1))) / (1 − (𝑋‘(𝐿𝑃)))))
206191, 205breqtrrd 4611 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋‘(𝐿𝑃)) ≠ 1) → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
20756, 206pm2.61dane 2869 . 2 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
208 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
209 dchrisum0f.f . . . . 5 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
2109, 11, 7, 126, 127, 208, 209dchrisum0fval 24994 . . . 4 ((𝑃𝐴) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
21183, 210syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)))
212 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑘 = (𝑃𝑖) → (𝐿𝑘) = (𝐿‘(𝑃𝑖)))
213212fveq2d 6107 . . . 4 (𝑘 = (𝑃𝑖) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) = (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
214 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)) = (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))
215214dvdsppwf1o 24712 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
21615, 31, 215syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏)):(0...𝐴)–1-1-onto→{𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)})
217 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑖 → (𝑃𝑏) = (𝑃𝑖))
218 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑃𝑏) ∈ V
219217, 214, 218fvmpt3i 6196 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
220219adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ↦ (𝑃𝑏))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
2216adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
222 elrabi 3328 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℕ)
223222nnzd 11357 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} → 𝑘 ∈ ℤ)
224 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
22514, 223, 224syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝐿𝑘) ∈ (Base‘𝑍))
226221, 225ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℝ)
227226recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)}) → (𝑋‘(𝐿𝑘)) ∈ ℂ)
228213, 5, 216, 220, 227fsumf1o 14301 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ (𝑃𝐴)} (𝑋‘(𝐿𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))))
229 zsubrg 19618 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
230 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
231230subrgsubm 18616 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
232229, 231mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
23320adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
23417adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑃 ∈ ℤ)
235 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
236 zringmpg 19659 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
237236eqcomi 2619 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
238 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℤring)) = (.g‘(mulGrp‘ℤring))
239235, 237, 238submmulg 17409 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
240232, 233, 234, 239syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃))
24182nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
242 cnfldexp 19598 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
243241, 20, 242syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑃) = (𝑃𝑖))
244240, 243eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃) = (𝑃𝑖))
245244fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝐿‘(𝑃𝑖)))
2469zncrng 19712 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
247 crngring 18381 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2488, 246, 2473syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
24911zrhrhm 19679 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍))
250 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
251 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
252250, 251rhmmhm 18545 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑍) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
253248, 249, 2523syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
254253adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)))
255 zringbas 19643 . . . . . . . . . 10 ℤ = (Base‘ℤring)
256250, 255mgpbas 18318 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘(mulGrp‘ℤring))
257 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (.g‘(mulGrp‘𝑍)) = (.g‘(mulGrp‘𝑍))
258256, 238, 257mhmmulg 17406 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑍)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
259254, 233, 234, 258syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘ℤring))𝑃)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
260245, 259eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿‘(𝑃𝑖)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃)))
261260fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))))
262126, 9, 127dchrmhm 24766 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
263262, 128sseldi 3566 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
264263adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
26518adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍))
266251, 10mgpbas 18318 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
267266, 257, 235mhmmulg 17406 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑃) ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
268264, 233, 265, 267syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑍))(𝐿𝑃))) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))))
269 cnfldexp 19598 . . . . . 6 (((𝑋‘(𝐿𝑃)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
270120, 20, 269syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋‘(𝐿𝑃))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
271261, 268, 2703eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = ((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
272271sumeq2dv 14281 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)(𝑋‘(𝐿‘(𝑃𝑖))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
273211, 228, 2723eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝑃𝐴)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑋‘(𝐿𝑃))↑𝑖))
274207, 273breqtrrd 4611 1 (𝜑 → if((√‘(𝑃𝐴)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑃𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  {crab 2900  c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cmpt 4643  wf 5800  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  cq 11664  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  cexp 12722  #chash 12979  csqrt 13821  abscabs 13822  Σcsu 14264  cdvds 14821  cprime 15223   pCnt cpc 15379  Basecbs 15695  s cress 15696  0gc0g 15923   MndHom cmhm 17156  SubMndcsubmnd 17157  .gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  Unitcui 18462   RingHom crh 18535  SubRingcsubrg 18599  fldccnfld 19567  ringzring 19637  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nczn 19670  DChrcdchr 24757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-od 17771  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-dchr 24758
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  24998  dchrisum0flb  24999
  Copyright terms: Public domain W3C validator