Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem7 31659
Description: Lemma for knoppcn 31664. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem7.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem7.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem7.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem7.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem7 (𝜑 → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑤,𝑧   𝑚,𝑀,𝑤   𝜑,𝑚,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9906 . . 3 ℝ ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ V)
3 knoppcnlem7.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 elnn0uz 11601 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
53, 4sylib 207 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
6 eqid 2610 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
76a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))
8 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
98fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧)‘𝑚) = ((𝐹𝑤)‘𝑚))
109cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚))
1110a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)))
12 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)‘𝑚) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
1312mpteq2dv 4673 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
1413adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
1511, 14eqtrd 2644 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
16 elfznn0 12302 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
181mptex 6390 . . . 4 (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)) ∈ V
1918a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)) ∈ V)
207, 15, 17, 19fvmptd 6197 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
212, 5, 20seqof 12720 1 (𝜑 → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cuz 11563  ...cfz 12197  cfl 12453  seqcseq 12663  cexp 12722  abscabs 13822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664
This theorem is referenced by:  knoppcnlem8  31660  knoppcnlem9  31661  knoppcnlem11  31663  knoppndvlem4  31676
  Copyright terms: Public domain W3C validator