Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eupthp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthp1 41384
 Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to become an Eulerian path ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 7-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
eupthp1.c (𝜑𝐶𝑉)
eupthp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (#‘𝐹)
eupthp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
Assertion
Ref Expression
eupthp1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthp1
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthp1.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
6 eupthp1.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9 eupthis1wlk 41380 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
11 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (#‘𝐹)
12 eupthp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
13 eupthp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
14 eupthp1.u . . . 4 (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
16 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
17 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
18 eupthp1.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
1918a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
20 eupthp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 201wlkp1 40890 . 2 (𝜑𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄)
222eupthi 41371 . . . . 5 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼))
2311eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 (#‘𝐹) = 𝑁
2423oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (0..^(#‘𝐹)) = (0..^𝑁)
25 f1oeq2 6041 . . . . . . . 8 ((0..^(#‘𝐹)) = (0..^𝑁) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2726biimpi 205 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
2827adantl 481 . . . . 5 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼) → 𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
298, 22, 283syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼)
30 fvex 6113 . . . . . . 7 (#‘𝐹) ∈ V
3111, 30eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
32 f1osng 6089 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
3331, 5, 32sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵})
34 dmsnopg 5524 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3512, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
3635f1oeq3d 6047 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} ↔ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→{𝐵}))
3733, 36mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
38 fzodisjsn 12374 . . . . 5 ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
4035ineq2d 3776 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐵}))
41 disjsn 4192 . . . . . 6 ((dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
427, 41sylibr 223 . . . . 5 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐵}) = ∅)
4340, 42eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)
44 f1oun 6069 . . . 4 (((𝐹:(0..^𝑁)–1-1-onto→dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}–1-1-onto→dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ (((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ∧ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = ∅)) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4529, 37, 39, 43, 44syl22anc 1319 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
4616a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
471, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 161wlkp1lem2 40883 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))
4847oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
49 1wlkcl 40820 . . . . . . . 8 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
5011eleq1i 2679 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
51 elnn0uz 11601 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5250, 51sylbb1 226 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
5349, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝑁 ∈ (ℤ‘0))
548, 9, 533syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
55 fzosplitsn 12442 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5654, 55syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
5748, 56eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
58 dmun 5253 . . . . 5 dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
5958a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
6046, 57, 59f1oeq123d 6046 . . 3 (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})–1-1-onto→(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
6145, 60mpbird 246 . 2 (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
621, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 191wlkp1lem4 40885 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
6314eqcomi 2619 . . . 4 (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (iEdg‘𝑆)
6463iseupthf1o 41369 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))))
6562, 64syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))))
6621, 61, 65mpbir2and 959 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796  EulerPathsceupth 41364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-eupth 41365 This theorem is referenced by:  eupth2eucrct  41385
 Copyright terms: Public domain W3C validator