Theorem wwlksext2clwwlk 41231

Description: If a word represents a walk in (in a graph) and there are edges between the last vertex of the word and another vertex and between this other vertex and the first vertex of the word, then the concatenation of the word representing the walk with this other vertex represents a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlksext2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlksext2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksext2clwwlk	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalkSN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksext2clwwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlksext2edg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlknbp 41044	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
3		simp3 1056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5		s1cl 13235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		ccatcl 13212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
8	4, 6, 7	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
10		clwwlksext2edg.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
11	1, 10	wwlknp 41045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
14	6	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
15		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
16		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
17		peano2nn 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
18	17	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
19		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
20	19	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
21		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
23		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
26		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
27	21	ltp1d 10833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
28	27	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
29	20, 22, 25, 26, 28	lttrd 10077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < (𝑁 + 1))
30		elfzo0 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 + 1)))
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
32	15, 31	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
34		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
36	35	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
39	33, 38	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
40		ccatval1 13214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
41	13, 14, 39, 40	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
42	41	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖))
43		fzonn0p1p1 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
45	34	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
46	45	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
47	44, 46	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
48		ccatval1 13214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
49	13, 14, 47, 48	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
50	49	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)))
51	42, 50	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))})
52	51	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
53	52	ralbidva 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
54	53	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
55	54	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
56	55	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
57	56	3impia 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
60	59	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
61		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
62	61	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
63		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
64	63	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
65		pncan1 10333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
67	62, 66	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 = ((#‘𝑊) − 1))
68	67	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)))
69	6	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
70		nn0p1gt0 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
71	70	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (𝑁 + 1))
72		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
73	72	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
74	71, 73	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (#‘𝑊))
75		hashneq0 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
76	12, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
77	74, 76	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ≠ ∅)
78		ccatval1lsw 13221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
79	12, 69, 77, 78	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
80	68, 79	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ( lastS ‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
81		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) = (#‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)))
82	81	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)))
83	82	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)))
84		ccatws1ls 13262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑍)
85	84	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑍)
86	83, 85	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
87	80, 86	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
88	87	3adantl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
89	88	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
90	89	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
91	90	impr 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
92		simprlr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
93		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
94		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 + 1) = (𝑁 + 1))
95	94	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
96	93, 95	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
97	96	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
98	97	ralsng 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
99	92, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
100	91, 99	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
101		ralunb 3756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
102	60, 100, 101	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
103		elnn0uz 11601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
104	103	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
105	104	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
106	105	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
107		fzosplitsn 12442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
109	108	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
110	102, 109	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
111		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
112		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑍 ∈ 𝑉)
113		ccatws1len 13251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
114	111, 112, 113	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
115	114	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) + 1) − 1))
116		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
117	116	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
118		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℂ
119		addcl 9897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
120		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
121	119, 120	pncand 10272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
122	63, 118, 121	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
123	117, 122	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
124	123	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
125	124	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
126	125	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
127	126	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
128	127	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
129	115, 128	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 + 1))
130	129	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
131	130	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
132	110, 131	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
133	132	exp32 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
134	11, 133	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
135	134	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
136	135	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
137	136	adantrd 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
138	137	imp 444	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
139		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
140		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ 𝑉)
141		lswccats1 13263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
142	139, 140, 141	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
143	142	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = ( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)))
144	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
145	6	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
146	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (𝑁 + 1))
147	72	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
148	146, 147	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (#‘𝑊))
149	148	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (#‘𝑊))
150		ccatfv0 13220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
151	150	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑊)) → (𝑊‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0))
152	144, 145, 149, 151	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0))
153	143, 152	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})
154	153	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
155	154	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
156	155	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
157		wwlknbp2 41063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
158	1	wrdeqi 13183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
159	158	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
160	159	eleq2i 2680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
161	160	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
162	161	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
163	157, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
164	156, 163	impel 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)}))
165	164	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})
166	165	eleq1d 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
167	166	biimpcd 238	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
168	167	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
169	168	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
170	9, 138, 169	3jca 1235	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
171	113	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
172	116	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
173		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
174	63, 173, 173	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
175		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
176	175	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
177	174, 176	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
178	177	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
179	172, 178	sylan9eq 2664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((#‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 2))
180	171, 179	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
181	180	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
182	163, 181	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
183	182	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
184	183	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
185	184	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
186		2nn 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
187		nn0nnaddcl 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
188	186, 187	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
189	188	3ad2ant2 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
190	1, 10	isclwwlksnx 41197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
191	189, 190	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
192	191	ad3antrrr 762	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalkSN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
193	170, 185, 192	mpbir2and 959	. . . 4 ⊢ (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalkSN 𝐺))
194	193	exp31 628	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalkSN 𝐺))))
195	2, 194	mpancom 700	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalkSN 𝐺))))
196	195	3impib 1254	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalkSN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   WWalkSN cwwlksn 41029   ClWWalkSN cclwwlksn 41184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186

This theorem is referenced by:  av-numclwwlk2lem1  41532