Theorem wwlksubclwwlks 41232

Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wwlksubclwwlks	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlks

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknp 41195	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		swrdcl 13271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6	5	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
8		eluzp1m1 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	lem1d 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
15		eluzuzle 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
16	12, 14, 15	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
17	10, 16	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))))
18	17	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
19		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
22		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
27	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29	13, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	13	lep1d 10834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
35		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
37	27, 30, 32, 34, 36	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑁)
38		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
39	38	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
43	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
44	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	42, 43, 44	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
47	38	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
49	48	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
50		letr 10010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
51	46, 49, 50	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
52	41, 51	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
53		elnn0z 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
54	52, 53	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
55	54	adantlrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
56		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
57	39, 55, 56	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
58	37, 57	mpdan 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
59	58	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
60	59	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
61	26, 60	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
62	61	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
63		elfz2nn0 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
64	62, 63	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
66		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑋) = 𝑁 → (0...(#‘𝑋)) = (0...𝑁))
67	66	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
70	65, 69	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)))
72		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
73	12, 7, 14, 72	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
74		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
76	75	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
77	76	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
78	77	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
79		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
80	25, 71, 78, 79	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
81	80	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘𝑖) = ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖))
82		fzonn0p1p1 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
83		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
84		npcan1 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
86	85	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
87	86	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
88	82, 87	syl5ib 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
89	88	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
90	89	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
91		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
92	25, 71, 90, 91	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
93	92	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)))
94	81, 93	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))})
95	94	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
96	95	ralbidva 2968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
97	23, 96	sylibd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
98	97	impancom 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
99	98	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
100	24, 70	jca 553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))))
101	100	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))))
102		swrd0len 13274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
104	103	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1) = (𝑀 − 1))
105	104	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
106	105	raleqdv 3121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
107	99, 106	mpbird 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
108	24, 70, 102	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
109	85	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
110	109	ad2antrl 760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
111	108, 110	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))
112	111	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))
113	6, 107, 112	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
114	113	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
115	114	3adant3 1074	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋‘𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
116	3, 115	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
117	116	impcom 445	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
118		nnm1nn0 11211	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
119	118	ad2antrr 758	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
120	1, 2	iswwlksnx 41042	. . . 4 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
121	119, 120	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
122	117, 121	mpbird 246	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺))
123	122	ex 449	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   WWalkSN cwwlksn 41029   ClWWalkSN cclwwlksn 41184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186

This theorem is referenced by:  av-numclwlk2lem2f  41533