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Theorem wwlksubclwwlks 41232
 Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlks ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlks
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 41195 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 swrdcl 13271 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
8 eluzp1m1 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
98ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
11 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
15 eluzuzle 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1612, 14, 15syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1710, 16syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1817imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
19 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
22 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28 peano2re 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3231ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3313lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
35 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3727, 30, 32, 34, 36letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀𝑁)
38 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3938ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
4313adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4431adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4542, 43, 443jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4738nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
4948anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀𝑁))
50 letr 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
5146, 49, 50sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
5241, 51jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
53 elnn0z 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
5452, 53sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5554adantlrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
56 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
5739, 55, 563jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5837, 57mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5958expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
60593adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6126, 60sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6261impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
63 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
6462, 63sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
66 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑋) = 𝑁 → (0...(#‘𝑋)) = (0...𝑁))
6766eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
7065, 69mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)))
72 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
7312, 7, 14, 72syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
74 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7675sseld 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7776ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7877imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
79 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
8025, 71, 78, 79syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
8180eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋𝑖) = ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖))
82 fzonn0p1p1 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
83 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
84 npcan1 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8685oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
8786eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8882, 87syl5ib 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8988ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
9089imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
91 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9225, 71, 90, 91syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9392eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)))
9481, 93preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))})
9594eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9695ralbidva 2968 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9723, 96sylibd 228 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9897impancom 455 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9998imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
10024, 70jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))))
101100adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))))
102 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
104103oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1) = (𝑀 − 1))
105104oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
106105raleqdv 3121 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10799, 106mpbird 246 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
10824, 70, 102syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
10985eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
110109ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
111108, 110eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))
112111adantlr 747 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))
1136, 107, 1123jca 1235 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
114113ex 449 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1151143adant3 1074 . . . . 5 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1163, 115syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
117116impcom 445 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
118 nnm1nn0 11211 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
119118ad2antrr 758 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1201, 2iswwlksnx 41042 . . . 4 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
121119, 120syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
122117, 121mpbird 246 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺))
123122ex 449 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   WWalkSN cwwlksn 41029   ClWWalkSN cclwwlksn 41184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186 This theorem is referenced by:  av-numclwlk2lem2f  41533
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