Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | clwwlksext2edg.v |
. . . 4
⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺) |
2 | 1 | clwwlknbp0 41192 |
. . 3
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁))) |
3 | | clwwlksext2edg.e |
. . . . . 6
⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺) |
4 | 1, 3 | isclwwlksnx 41197 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁))) |
5 | 4 | ad2antlr 759 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁))) |
6 | | ige2m2fzo 12398 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))) |
7 | 6 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 − 2) ∈
(0..^(𝑁 −
1))) |
8 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1))) |
9 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1) = (𝑁 − 1)) |
10 | 9 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1))) |
11 | 10 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1))
↔ (𝑁 − 2) ∈
(0..^(𝑁 −
1)))) |
12 | 11 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1))
↔ (𝑁 − 2) ∈
(0..^(𝑁 −
1)))) |
13 | 8, 12 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1))) |
14 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖) = ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2))) |
15 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 2) + 1)) |
16 | 15 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))) |
17 | 14, 16 | preq12d 4220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))}) |
18 | 17 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸)) |
19 | 18 | rspcv 3278 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 − 2) ∈
(0..^((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)) →
(∀𝑖 ∈
(0..^((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸)) |
20 | 13, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸)) |
21 | | ccatws1lenrev 13260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (#‘𝑊) = (𝑁 − 1))) |
22 | 21 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (#‘𝑊) = (𝑁 − 1))) |
23 | | eluzelcn 11575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ) |
24 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ) |
25 | 23, 24, 24 | subsub4d 10302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1))) |
26 | | 1p1e2 11011 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (1 + 1) =
2 |
27 | 26 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (1 + 1) = 2) |
28 | 27 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)) |
29 | 25, 28 | eqtr2d 2645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1)) |
30 | 29 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 − 2) =
((𝑁 − 1) −
1)) |
31 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((#‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
((#‘𝑊) − 1) =
((𝑁 − 1) −
1)) |
32 | 31 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((#‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
((𝑁 − 1) − 1) =
((#‘𝑊) −
1)) |
33 | 30, 32 | sylan9eq 2664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1)) |
34 | 33 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘𝑊) =
(𝑁 − 1) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1))) |
35 | 22, 34 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1))) |
36 | 35 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑊) − 1)) |
37 | 36 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((#‘𝑊) − 1))) |
38 | | simpl1 1057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉) |
39 | | s1cl 13235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉) |
40 | 39 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉) |
41 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) →
〈“𝑍”〉
∈ Word 𝑉) |
42 | | eluz2 11569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤
𝑁)) |
43 | | zre 11258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
44 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 1 ∈
ℝ) |
45 | | 2re 10967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ 2 ∈
ℝ |
46 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 2 ∈
ℝ) |
47 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ) |
48 | | 1lt2 11071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ 1 <
2 |
49 | 48 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 1 <
2) |
50 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 2 ≤ 𝑁) |
51 | 44, 46, 47, 49, 50 | ltletrd 10076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 1 < 𝑁) |
52 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈
ℝ) |
53 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈
ℝ) |
54 | 52, 53 | posdifd 10493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 <
𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1))) |
55 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 1))) |
56 | 51, 55 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤
𝑁) → 0 < (𝑁 − 1)) |
57 | 56 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (2 ≤
𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))) |
58 | 43, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤
𝑁 → 0 < (𝑁 − 1))) |
59 | 58 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (2 ∈
ℤ → (𝑁 ∈
ℤ → (2 ≤ 𝑁
→ 0 < (𝑁 −
1)))) |
60 | 59 | 3imp 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑁
∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 0 < (𝑁 − 1)) |
61 | 42, 60 | sylbi 206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 − 1)) |
62 | 61 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 <
(𝑁 −
1)) |
63 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((#‘𝑊) =
(𝑁 − 1) → (0
< (#‘𝑊) ↔ 0
< (𝑁 −
1))) |
64 | 63 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 <
(#‘𝑊) ↔ 0 <
(𝑁 −
1))) |
65 | 62, 64 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 <
(#‘𝑊)) |
66 | | hashneq0 13016 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅)) |
67 | 66 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (0 < (#‘𝑊)
↔ 𝑊 ≠
∅)) |
68 | 67 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 <
(#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅)) |
69 | 65, 68 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅) |
70 | 69 | 3adantl2 1211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 𝑊 ≠ ∅) |
71 | 38, 41, 70 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)) |
72 | 71 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘𝑊) =
(𝑁 − 1) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))) |
73 | 22, 72 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))) |
74 | 73 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)) |
75 | | ccatval1lsw 13221 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS
‘𝑊)) |
76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS
‘𝑊)) |
77 | 37, 76 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)) = ( lastS ‘𝑊)) |
78 | | 2m1e1 11012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (2
− 1) = 1 |
79 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (2 − 1) = 1) |
80 | 79 | eqcomd 2616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 1 = (2 − 1)) |
81 | 80 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1))) |
82 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ) |
83 | 23, 82, 24 | subsubd 10299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) +
1)) |
84 | 81, 83 | eqtr2d 2645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1)) |
85 | 84 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((𝑁 − 2) + 1)
= (𝑁 −
1)) |
86 | | eqeq2 2621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((#‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
(((𝑁 − 2) + 1) =
(#‘𝑊) ↔ ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))) |
87 | 85, 86 | syl5ibrcom 236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘𝑊) =
(𝑁 − 1) →
((𝑁 − 2) + 1) =
(#‘𝑊))) |
88 | 22, 87 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊))) |
89 | 88 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑁 − 2) + 1) = (#‘𝑊)) |
90 | 89 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1)) = ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(#‘𝑊))) |
91 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) |
92 | 91 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) |
93 | 92 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) |
94 | | ccatws1ls 13262 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(#‘𝑊)) = 𝑍) |
95 | 93, 94 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(#‘𝑊)) = 𝑍) |
96 | 90, 95 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑍) |
97 | 77, 96 | preq12d 4220 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → {((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} = {( lastS ‘𝑊), 𝑍}) |
98 | 97 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ({((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑁 − 2)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) |
99 | 20, 98 | sylibd 228 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) |
100 | 99 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸))) |
101 | 100 | com13 86 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑖 ∈
(0..^((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ {( lastS ‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸))) |
102 | 101 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) → ((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ {( lastS ‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸))) |
103 | 102 | imp31 447 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝑊 ++
〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {( lastS ‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸) |
104 | 92 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) |
105 | | lswccats1 13263 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑍) |
106 | 104, 105 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ( lastS
‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑍) |
107 | 61 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 0 < (𝑁 −
1)) |
108 | 107 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 <
(𝑁 −
1)) |
109 | 63 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → (0 <
(#‘𝑊) ↔ 0 <
(𝑁 −
1))) |
110 | 108, 109 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → 0 <
(#‘𝑊)) |
111 | | ccatfv0 13220 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 〈“𝑍”〉 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
112 | 38, 41, 110, 111 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0) = (𝑊‘0)) |
113 | 106, 112 | preq12d 4220 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (#‘𝑊) = (𝑁 − 1)) → {( lastS
‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}) |
114 | 113 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘𝑊) =
(𝑁 − 1) → {(
lastS ‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})) |
115 | 22, 114 | syld 46 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 → {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})) |
116 | 115 | impcom 445 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {( lastS ‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)}) |
117 | 116 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((#‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ ({( lastS ‘(𝑊
++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |
118 | 117 | biimpcd 238 |
. . . . . . . 8
⊢ ({( lastS
‘(𝑊 ++
〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸 → (((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |
119 | 118 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) → (((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |
120 | 119 | impl 648 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝑊 ++
〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) |
121 | 103, 120 | jca 553 |
. . . . 5
⊢
(((((𝑊 ++
〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) − 1)){((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ ({( lastS ‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |
122 | 121 | ex 449 |
. . . 4
⊢ ((((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) −
1)){((𝑊 ++
〈“𝑍”〉)‘𝑖), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)), ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ({( lastS ‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) |
123 | 5, 122 | syl6bi 242 |
. . 3
⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘(𝑊 ++ 〈“𝑍”〉)) = 𝑁)) → ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ({( lastS ‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))) |
124 | 2, 123 | mpcom 37 |
. 2
⊢ ((𝑊 ++ 〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ({( lastS ‘𝑊),
𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) |
125 | 124 | impcom 445 |
1
⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
∧ (𝑊 ++
〈“𝑍”〉) ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) |